Interpretación de campos de un fluido incompresible
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En este trbajo estudiaremos el flujo de un fluido a través de una tubería recta. Existirán dos magnitudes fundamentales para este estudio, la primera será la presión, que al ser una magnitud escalar vendrá determinada por un campo escalar. En nuestro caso será el campo:
[math]p(x,y)=p_1 + (p_2-p_1)(x-1)[/math].
La segunda magnitud fundamental será la velocidad de los puntos del fluido que vendrá determinada por el campo vectorial:
[math]\vec u(x,y)= y(1-y)(p_1-p_2)/(2\mu) \vec i[/math]
Para comenzar, dibujamos con MATLAB un mallado de la sección longitudinal de la tubería, que representa los puntos interiores del rectángulo [math][0,4]\times[0,1][/math] ocupada por un fluido fijados los ejes en la región [math][0,4]\times[-1,2][/math].
h=0.1
u=0:h:4;
v=0:h:1+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
Contenido
Para un estudio más sencillo, realizamos dos hipótesis:
- El fluido es incompresible, con lo que se supone que se trata de un fluido en estado liquido.
- El fluido es estacionario, lo que implica que la velocidad de un punto depende únicamente de la posición, y no del tiempo.
Para saber que lo supuesto es cierto, se emplean la Ecuación de Navier-Stokes estacionaria y la condición de incompresibilidad de un fluido.
1.1 Incompresibilidad de fluidos
Se deduce que si un campo vectorial tiene divergencia nula, entonces, el flujo del campo a traves de cualquier superficie cerrada será 0. De modo que, si el campo es la velocidad de un fluido, la misma cantidad de fluido fluirá hacia dentro y hacia fuera de una región a estudiar, y por tanto el fluido se llama Incompresible.
Para el caso estudiado [math]\nabla \cdot \vec u =0[/math].
Las Ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales, que normalmente no tienen solución analítica, excepto para casos muy concretos. Estas ecuaciones describen cualquier fenómeno en el que esté involucrado un fluido newtoniano. En el caso a estudiar, se emplea la ecuación particularizada para un fluido estacionario. Cuya ecuación es:
[math] \vec u \cdot \nabla \vec u + \nabla p = \mu \Delta \vec u, [/math] Siendo [math]\mu[/math] la viscosidad del fluido. Verficada en el caso estudiado.
2 Campos de presiones y velocidades.
Supuesto que [math]p_1=2[/math], [math]p_2=1[/math] y [math]\mu=1[/math]. Se obtendrá la siguiente representación de los campos de presion y velocidad, respectivamente:
[math]p(x,y)=(-x+3)[/math]
[math]\vec u(x,y)= y(1-y)/(2) \vec i[/math]
Camo de presiones:
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
figure(1)
f=-xx+3;
surf(xx,yy,f)
axis([0,4,-1,2])
view(2)Campo de velocidades:
u=inline('y-y.^2','x' ,'y');
v=inline('0*y','x' ,'y');
x=0:0.1:4;
y=0:0.1:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
U=u(X,Y);
V=v(X,Y);
quiver(X,Y,U,V)
axis([0,4,-1,2])
view(2)
Una obervación importante es que al representar el campo de velocidades podemos comprobar que este se corresponde el campo fisico de velocidades demostrado experimentalmente para un fluido en condiciones similares, puesto que debido a la viscosidad, los puntos cercanos a las paredes de la tuberia tendrán velocidad mínima, que en el caso a estudiar resulta nula. Por otro lado, por el método de máximos y mínimos, derivando el campo respecto de y se obtiene que los puntos del centro de la tuberia (y=0.5) tendrán velocidad máxima.
