Trabajo grupo 4

    Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen de coordenadas y comprendido entre los radios [1,3], en el primer cuadrante [math]x,y\ge 0\ltmath /\gt. En este campo tendremos definidas dos cantidades físicas, la temperatura \ltmath\gtT(x,y)\ltmath /\gt y los desplazamientos \ltmath\gt\overrightarrow { u } (x,y)\ltmath /\gt. 

==  Introducción  ==

==  Mallado de la placa  ==
\ltbr /\gt
     Con lo definido anteriormente podremos dibujar con ayuda del programa Matlab el mallado que represente los puntos interiores del sólido, consideramos como paso de muestreo h=1/10. Como se puede observar en el mallado se puede notar que el aro no está completamente cerrado en la coordenada \ltmath\gt\theta =\pi \ltmath /\gt. Esto se debe al muestreo que tenemos, ya que en el intervalo final correspondiente, este será mayor que \ltmath\gt\theta \ltmath /\gt por lo que se omite.

(colocar el código y figura del apartado 1)

==  Temperatura ==
     Una de las funciones definidas al principio es la temperatura, cuya ecuación será \ltmath\gtT(x,y)=log(y+2)\ltmath /\gt que podemos observar como cambian las curvas de nivel y la barra de colores a lo largo del sólido.

(código de la temperatura y figura 2)

     Al tener las curvas de nivel en nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma \ltmath\gt\nabla T\ltmath /\gt. Aprovechamos para verificar que nuestras ecuaciones y los diagramas están correctos al utilizar una de las propiedades del gradiente. Como podemos observar el \ltmath\gt\nabla T\ltmath /\gt es ortogonal a las curvas de nivel del anillo. 

     Recordamos la fórmula general del cálculo de \ltmath\gt\nabla T\ltmath /\gt en coordenadas cartesianas
\ltmath\gt\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } \ltmath /\gt

     Particularizándolo a nuestra temperatura \ltmath\gtT(x,y)=log(y+2)\ltmath /\gt, obtenemos: 
\ltmath\gt\nabla T=0\overrightarrow { i } \quad +\frac { 1 }{ y+2 } \overrightarrow { j } \quad +0\overrightarrow { k } \ltmath /\gt
\ltmath\gt\nabla T=\frac { 1 }{ y+2 } \overrightarrow { j } \ltmath /\gt

 ==  Campo de Desplazamiento ==
     Queremos considerar un campo de desplazamiento \ltmath\gt\overrightarrow { u } (\rho ,\theta )=f\left( \rho  \right) { \overrightarrow { g }  }_{ \theta  }\ltmath /\gt con las siguientes características: 
:*Los puntos situados en \ltmath\gt\rho =1\ltmath /\gt no sufren desplazamiento.
:*El \ltmath\gt\nabla \quad x\quad \overrightarrow { u } =\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g }  }_{ z }\ltmath /\gt.
\ltbr /\gt

     Para poder calcular el campo de desplazamiento \ltmath\gt\overrightarrow { u } \ltmath /\gt debemos recordar el cálculo general del rotacional en las coordenadas cartesianas:
\ltmath\gt\nabla \quad x\quad \overrightarrow { u } =\frac { 1 }{ \rho  } \left| \begin{matrix} { \overrightarrow { g }  }_{ \rho  } & { \overrightarrow { g }  }_{ \theta  } & { \overrightarrow { g }  }_{ z } \\ \partial \rho  & \partial \theta  & \partial z \\ { \overrightarrow { u }  }_{ \rho  } & { \overrightarrow { u }  }_{ \theta  } & { \overrightarrow { u }  }_{ z } \end{matrix} \right| \quad \ltmath /\gt

 


[[Archivo:Mallado1.jpg|400px|thumb|right|Mesh in a rectangular solid]]

We show how to draw meshes of plane regions, representing solids, with Octave UPM. The objective is to be able of visualizing physical quantities in the mesh points. We start with the simplest example, the rectangle \ltmath\gt [-1/2,1/2]\times [0,2][/math]. We follow the steps:

1. We introduce a sampling of the two segments with a suitable step
2. With meshgrid command we define two matrixes with the x and y coordinates of the mesh points
3. We use the mesh command to draw the mesh and adjunst the axis. We see the mesh from the top.

1 MATLAB code

x=-0.5:0.1:0.5;       % sampling of the interval [-1/2,1/2]
y=0:0.1:2;            % sampling of the interval [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrixes of x and y coordinates
figure(1)
mesh(xx,yy,0*xx)       % Draw the mesh
axis([-2,2,-1,3])      % select region for drawing
view(2)                % See the picture from the top

2 To go further

Mesh of a parametrized 2-D solid

Visualization of a scalar field in a solid

Visualization of vector fields in a solid

Level sets of a scalar field