Reaccion Autocatalisis Grupo 2B

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Reacción con autocatálisis. Grupo 2-B
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2016-17
Autores	Gonzalo Royo Navajas, Marta Caracuel Mateos, Carlota Sánchez Martínez, Abid Al-Akioui Sanz, Alejandro Prieto Martínez, Pablo Retamar Leboutet
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 INTRODUCCIÓN

Una reacción de autocatálisis es un proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre si mismo. En este caso, se estudiará una reacción, regida por la constante k, bimolecular e irreversible en la cual se suponen unos reactivos A y B que presentan un volumen y una temperatura constantes.

                           				A+B → C

Dichas condiciones satisfacen la ley de acción de masas, es decir, la velocidad de la reacción en cuestión será proporcional al producto de las concentraciones de A y B. Para desarrollar el análisis, nos ayudaremos del principio de conservación de la materia, por el cual la suma de la masa de los reactivos y los productos se mantendrá constante a lo largo del tiempo. Así pues, darán como producto un tercer compuesto:

                                                      A+B → k * 2B

La resolución de la ecuación diferencial para y se apoya en las dos leyes mencionadas con anterioridad. De esta forma, determinamos las siguientes ecuaciones:

                                                        x=A+B          
                                                        y=2B

Por el método de sustitución podemos deducir la variables dependientes A y B: [math] \left\{\begin{matrix} A=x-y/2\\ B=y/2 \end{matrix}\right. [/math]

A partir del principio de conservación de la masa obtenemos que

                                                        x+y=cte                                                                       (1)

A su vez también se sabe que la velocidad es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos: v=kAB, por lo tanto, v=y’=-x’. Por lo que concluimos que y’=kAB en la que sustituimos los valores de los reactivos previamente determinados:

      y’=k*[x-y/2]*[y/2]; y'=k*[x-y/2]*y; y'=k*[cte-y-y/2]*y; y'=k*[cte-3/2*y]*y; y'=3/2*k*[2/3*cte-y]*y; y'=k*[cte-y]*y; y'=k*x*y            

De (1) concluimos que: x=cte-y.

Y sustiyendo en la fórmula anteriormente demostrada, obtenemos que:

                                                        y'=-k*y^2+k*y*cte

A partir de la cual se forma el PVI correspondiente: [math] \left\{\begin{matrix} y'=-k*y^2+k*y*cte\\ y(0)=y0 \end{matrix}\right. [/math]

Para poder resolver el PVI se necesita calcular el valor de la cte:

                                                 x=A+B → A=x-y/2
                                                 y=2B → B=y/2

Según los datos teóricos, A=2 y B=0.05 mol/L, despejando en las ecuaciones anteriores se obtienen los valores de x e y, siendo 1.95 y 0.1 respectivamente. Por lo tanto:

                                                 cte=x+y=1.95+0.1=2.05

2 Resolución del PVI

La resolución del PVI se ha llevado acabo por diferentes métodos. Para ellos se ha escogido un paso h=0.1 y una k=1.4 mol/s. El estudio se realiza durante los primeros 10 segundos en los que se produce la reacción.

Método de Euler:

\[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + h*f(t_n,y_n) \\ \end{cases}\quad \]

% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;
f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);
% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);
% Creamos el vector de tiempo t 
t=linspace(t0,tN,N+1);
% Vector con la solucion por aproximacion
y=zeros(size(t));
y(1)=B;
% Utilizamos el metodo de Euler 
for i=1:N
    y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i));
end
x=c-y;
% Dibujamos la solucion aproximada
hold on
plot(t,y,'b')
plot(t,x,'g')
hold off
legend('Cantidad de productos','Cantidad de reactivos')
xlabel('Tiempo (s)');
ylabel('Concentración (mol/L)');
% Calculamos el momento en el que coinciden las dos concentraciones:
for i=1:N
    if abs(y(i)-x(i))<0.01
        fprintf('Corte en punto (%.2f,%.2f)\n',t(i),y(i))
    end
end

Método del Trapecio y Runge-kutta: El método del Trapecio sigue siguiente método numérico: \[ PVI = \begin{cases} y_0 \\ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}*(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1}))\\ \end{cases}\quad \]

Mientras que el de Runge-Kutta:

% Datos
A=2;
B=0.05;
k=1.4;
h=0.1;
t0=0;
tN=10;
c=2.05;

f=@(t,y)(-k*y^2+k*c*y);

% Discretizamos
N=round((tN-t0)/h);

% Creamos el vector de tiempo t 
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Metodo del trapecio
yt=zeros(1,N+1);
yt(1)=B;
for i=1:N
    yt(i+1)=(-1+0.5*h*k*c+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2+2*h*k*(yt(i)+0.5*h*f(t(i),y(i)))))/(h*k);
end

xt=c-yt;

hold on
plot(t,yt,'k')
plot(t,xt,'b')
hold off
legend('Cantidad de productos (trapecio)','Cantidad de reactivos (trapecio)')

% metodo de Runge-Kutta
yr=zeros(1,N+1);
yr(1)=B;
for j=1:N
    K1=f(t(j),yr(j));
    K2=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K1);
    K3=f(t(j)+0.5*h,yr(j)+0.5*h*K2);
    K4=f(t(j)+h,yr(j)+K3*h);
    yr(j+1)=yr(j)+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;
end
xr=c-yr;

% Dibujamos la solucion aproximada
figure
hold on
plot(t,yr,'r')
plot(t,xr,'g')
hold off
legend('Cantidad de reactivos(Runge-kutta)','Cantidad de reactivos (Runge-kutta)')

Una vez realizados los programas y obtenidas las gráficas correspondientes,se puede concluir que la velocidad de la reacción aumentara hasta llegar a su máximo valor en la intersección de ambas curvas, disminuyendo dicha velocidad hasta agotar la concentración de los reactivos.

Apartado 4 Tras realizar el sistema , se procede al cálculo correspondiente , representando gráficamente ambos métodos , donde se puede observar una variación de ambos: El punto de cruce de las curvas es diferente en respectivos métodos, siendo en Euler (1.40,1.02) y en Runge Kutta 4 (1.30,0.88) . Se argumenta que el método Euler aporta un desarrollo del sistema más preciso debido a que este método es de orden 1, dando menos error que el método de Runge Kutta 4, de orden 4.

Apartado 5 ESCRIBIR DESARROLLO (HOJA pABLO)

Apartado 6 Una vez ejecutado el programa con sus respectivos datos , para h=0.01 y h=0.05 , se obtienen sendas gráficas ,donde se observa que son prácticamente similares, deduciendose que el método es estable .

Apartado 7