Guía de optimización en ingeniería

Este artículo contiene una guía básica para plantear y resolver un problema de optimización en ingeniería. Para fijar ideas nos centraremos en un ejemplo sencillo e iremos explicando el proceso sobre ese ejemplo.

1 Ejemplo: definición del problema

Consideramos un trapecio construido de un material homogéneo del que podemos elegir la inclinación del lado derecho (ver la figura). Buscamos la inclinación de ese lado derecho que proporcione menor área, pero manteniendo la componente horizontal del centro de gravedad dentro de la base para darle estabilidad.

Buscamos el trapecio con menor área cuyo centro de gravedad caiga en la base, cuando movemos el punto a donde se apoya el lado derecho

Es importante identificar en este punto dos cosas:

1. Coste que queremos optimizar
2. Restricciones que tenemos en el problema

En este caso sencillo, el coste consiste en el área total del trapecio mientras que la restricción es que el centro de gravedad caiga en la base.

2 Planteamiento matemático

Vamos a plantear este problema matemáticamente. Los pasos a seguir son:

1. Identificar los grados de libertad y asociarle uno o varios parámetros para describir todas las posibles geometrías. Llamaremos a los parámetros [math] (a_1,a_2,...,a_n)[/math]
2. Escribir en función de los parámetros anteriores: la función coste [math] f_{coste}(a_1,a_2,...,a_n)[/math], los intervalos [math] [L_i,M_i] [/math] en los que se pueden mover los parámetros [math] a_i, \; i=1,...,n,[/math] y las restricciones en términos de los parámetros [math] g_{rest}(a_1,a_2,...,a_n)[/math].

Una vez hecho esto el planteamiento matemático es: Buscamos los valores [math] (a_1,a_2,...,a_n)[/math] que minimicen el coste

[math] f_{coste} (a_1,a_2,...,a_n) [/math]

cuando los parámetros toman valores en los intervalos

[math] L_i \leq a_i \leq M_i, \quad i=1,2,...,n, [/math]

y además verifican las restricciones

[math] \begin{array}{l} g_{rest1} (a_1,a_2,...,a_n)\leq 0\\ g_{rest2} (a_1,a_2,...,a_n)\leq 0\\ ...\\ g_{restk} (a_1,a_2,...,a_n)\leq 0\\ \end{array} [/math]

Vamos a seguir estos dos pasos en nuestro ejemplo:

2.1 Identificar los grados de libertad y asociarles parámetros

En el ejemplo que tratamos sólo hay un grado de libertad que es la pendiente del lado derecho del trapecio. En general existen varios parámetros que podemos elegir para representar este grado de libertad: la distancia a, la propia pendiente del lado en rojo, el ángulo que forma ese lado con la horizontal, etc. Conviene elegir el que nos haga más fáciles los cálculos.

En este caso elegimos la longitud de la base a. En situaciones más complicadas habrá más parámetros para describir toda la variabilidad del problema. Por ejemplo, podemos incluir la altura h o la longitud del lado superior b. Sin embargo, para fijar ideas, en lo sucesivo estos dos parámetros los tomaremos constantes e iguales a 1.

[math] h=b=1. [/math]

2.2 Escribir la función coste y las restricciones en términos de los parámetros

La función coste es el área del trapecio, que viene dada por

[math] f_{coste}=h\frac{b+a}{2}=\frac{1+a}{2}. [/math]

El parámetro [math]a[/math] supondremos varía en el intervalo [math][0,1][/math] puesto que otros valores bien no tienen sentido (por ejemplo [math]a\lt0[/math]) o bien podemos descartarlos por ser claramente poco eficientes (por ejemplo [math]a\gt1[/math]).

En cuanto a las restricciones, en este caso sólo tenemos una: que la coordenada x del centro de gravedad caiga en la base. Si llamamos [math]S[/math] a la superficie que ocupa el trapecio, la coordenada [math]x_G[/math] del centro de gravedad viene dada por

[math] x_{G}=\frac{\iint_S x dS}{\iint_S dS}=\frac{\int_0^a\int_0^1 x \; dydx+\int_a^1\int_{\frac{x-a}{1-a}}^1x\;dydx}{\frac{1+a}{2}} =\frac{a^2+a+1}{3(a+1)}. [/math]

Por lo tanto, la restricción se escribe [math] x_{G}=\frac{a^2+a+1}{3(a+1)}\lta [/math]

El planteamiento matemático del problema es entonces: Buscamos [math]a[/math] que minimice el coste

[math] f_{coste}=\frac{1+a}{2} \frac{a^2+a+1}{3(a+1)}\leq a [/math]

en el intervalo

[math] 0\leq a \leq 1, [/math]

con la restricción

[math] g_{rest}=\frac{a^2+a+1}{3(a+1)}-a \leq 0 [/math]

3 Solución en Matlab: Fuerza bruta

En esta sección vamos a ver cómo hacer que Matlab evalúe la función coste y las restricciones para cada posible parámetro. De esta forma, evaluando en un número suficientemente elevado de parámetros y eligiendo el de coste mínimo obtenemos un sencillo método de optimización.

Empezaremos incluyendo en Matlab la función coste. Existen varias formas de definir una función en Matlab. La más sencilla tiene la siguiente sintaxis:

% Función coste
f_coste = @(x) (1+x)/2;

Observamos que aparece en primer lugar el nombre de la función, f_coste. Las variables de las que depende la función se colocan después de la @ y entre paréntesis. Por último se escribe la expresión de la función en términos de las variables.

Una vez definida esta función en Matlab podemos calcular el coste de cualquier parámetro simplemente escribiendo f_coste(0.1), f_coste(0.4), etc.