Guía de optimización en ingeniería

Este artículo contiene una guía básica para plantear y resolver un problema de optimización en ingeniería. Para fijar ideas nos centraremos en un ejemplo sencillo e iremos explicando el proceso sobre ese ejemplo.

1 Ejemplo: definición del problema

Consideramos un trapecio construido de un material homogéneo del que podemos elegir la inclinación del lado derecho (ver la figura). Buscamos la inclinación de ese lado derecho que proporcione menor área, pero manteniendo la componente horizontal del centro de gravedad dentro de la base para darle estabilidad.

Buscamos el trapecio con menor área cuyo centro de gravedad caiga en la base, cuando movemos el punto a donde se apoya el lado derecho

Es importante identificar en este punto dos cosas:

1. Coste que queremos optimizar
2. Restricciones que tenemos en el problema

En este caso sencillo, el coste consiste en el área total del trapecio mientras que la restricción es que el centro de gravedad caiga en la base.

2 Planteamiento matemático

Vamos a plantear este problema matemáticamente. Los pasos a seguir son:

1. Identificar los grados de libertad y asociarle uno o varios parámetros para describir todas las posibles geometrías. Llamaremos a los parámetros [math] (a_1,a_2,...,a_n)[/math]
2. Escribir la función coste y las restricciones en términos de los parámetros, es decir

[math] \begin{array}{l} f_{coste} (a_1,a_2,...,a_n)\\ g_{rest1} (a_1,a_2,...,a_n)\leq 0\\ g_{rest2} (a_1,a_2,...,a_n)\leq 0\\ ...\\ g_{restk} (a_1,a_2,...,a_n)\leq 0\\ \end{array} [/math]

En el ejemplo que tratamos sólo hay un grado de libertad que es la pendiente del lado derecho del trapecio. En general existen varios parámetros que podemos elegir para representar este grado de libertad: la distancia a, la propia pendiente del lado en rojo, el ángulo que forma ese lado con la horizontal, etc. Conviene elegir el que nos haga más fáciles los cálculos. En este caso elegimos la longitud de la base a. En problemas más complicados habrá más parámetros para describir toda la variabilidad del problema. Por ejemplo, podemos incluir la altura h o la longitud del lado superior b. Sin embargo, para fijar ideas, en lo sucesivo estos dos parámetros los tomaremos constantes e iguales a 1.

[math] h=b=1. [/math]