Ejercicio 2: Circuitos eléctricos RL

1 Planteamiento

El circuito eléctrico más simple está compuesto de una resistencia,un inductor o bobina y una fuente de alimentación.

• En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

 [math]i(t)={V(t)\over R}[/math]

• En un inductor L la Ley de Faraday dice:

[math] V(t)=L\cdot i'(t)[/math] Donde i(t)es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina. Las leyes de Kirchoff dicen:

1. Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
2. Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.

2 Apartado 1

Escribir la ecuación diferencial que se obtiene de la ley de Kirchoff de voltaje en el circuito de la izquierda de la figura 1 cuando está cerrado:

[math] E(t)=R i(t)+ L {di(t)\over dt} [/math]

3 Apartado 2

Suponiendo que en el instante t=0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado, calcular analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t>0 y dibujarla en una gráfica. Suponer que la alimentación posee un voltaje constante [math] E(t)=10V, L=0.2H , R=5Ω [/math].

La ecuación diferencial propuesta es:

[math] 5i + 0.2 i' = 10 [/math]

Al resolverla, obtenemos la siguiente intensidad: [math] i(t)=2-2e^{-25t} [/math]

Y la gráfica obtenida es la siguiente:

• Ecuación diferencial resuelta numéricamente con el método de Euler

t0=0; tN=0.5;
h=(tN-t0)/50;
y0=0;N=50;
yy=y0;
y(1)=yy;
for n=1:N
    yy=yy+h*(50-25*yy);
    y(n+1)=yy;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,y,'-');

El paso de discretización temporal (h) ha de ser muy pequeño para que el método sea estable. Aproximadamente h=1/100

• Ecuación diferencial resuelta numéricamente con el método del Trapecio

t0=0;tN=0.5;
y0=0;
N=50;h=(tN-t0)/N;
yy=y0;
y(1)=yy;
for n=1:N;
yy=(yy+h*(50-12.5*yy))/(1+12.5*h);
y(n+1)=yy;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,y,'-')

4 Apartado 3

Suponiendo que el circuito en el instante t=0 está cerrado con una intensidad [math] i(t)=2A [/math], y que lo abrimos repentinamente, calcular la intensidad en cada instante de tiempo y dibujarla en una gráfica.

Se nos esta planteando un problema de Cauchy: [math] 5i+0.2i'=0 [/math] :[math]i(0)=0 [/math]