Reacciones Complejas. Grupo 25C

Trabajo realizado por estudiantes
Título	REACCIONES COMPLEJAS. GRUPO 25C
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2014-15
Autores	Gálvez Aparici, Antonio Megino León, Guillermo Popa, Silviu Sistac Ara, Alejandro Veiga López, Roberto
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introduccion

Se considera una reaccion quımica irreversible en una solucion bien mezclada. Supondremos que la reaccion ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que seconoce como una reacción bimolecular, es decir, una molecula de A y una de B producen una de C,

A + B → C

Supondremos tambien que se satisface la ley de accion de masas que establece que la velocidad de reaccion es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

2 Interpretacion del enunciado y PVI. Concentracion de C

Vamos a comprobar que la concentracion del producto C a lo largo del tiempo puede obtenerse a partir de esta ecuacion, la de la ley de masas:

y'(t) = k1(a0 − y(t))(b0 − y(t)), siendo t>0

A continuacion definiremos las constantes y variables que vamos a utilizar:

• k1: Constante de la velocidad de reaccion, en funcion de la temperatura, que al ser constante tambien lo sera k1
• a0: Concentracion inicial de A
• b0: Concentracion inicial de B
• y(t): Define la evolucion de la concentracion de C a lo largo del tiempo
• y'(t): Es la derivada de la concentracion en el tiempo, es decir, la velocidad de la reaccion quimica

Por lo tanto, segun nuestra ecuacion diferencial, las concentraciones de A y B varian en el tiempo disminuyendo segun, (a0-y(t)) y (b0-y(t)) respectivamente. Tomaremos el tiempo estrictamente mayor que 0 (t>0), de hecho para t=0 la concentracion de C será nula. Estamos ante un PVI.

Problema de valor inicial: Para el intervalo t>0 la ecuacion diferencial es continua y derivable en dicho dominio, por tanto tiene solucion que sera unica porque su primera derivada es continua en este dominio. Cumple el teorema de Cauchy (o PVI).

3 Proceso Reversible

En caso de que el proceso sea reversible nuestra ecuacion necesitara un termino adicional que defina como se producen los reactivos. Para esto necesitaremos una nueva constante de velocidad de reaccion (k2) dado que suponemos que se sigue satisfaciendo la ley de masas. Este nuevo termino disminuira la cantidad de producto, por lo tanto el termino aparecera restando en nuestra ecuacion.

La ecuacion resultante es la siguiente:

y'(t) = k1(a0 − y(t))(b0 − y(t))-k2*y(t), siendo t>0

4 Resolucion del PVI por el metodo de Euler

Suponiendo estos parámetros:

• a0=3[mol/L]
• b0=1[mol/L]
• k1=1[mol/s]
• h=0.1(salto)
• t=[0,2] (segundos)

Codigo en Matlab:

%Euler
clear all
%Datos del problema
a0=3;
b0=1;
t0=0;
tN=2;
y0=0;
h=0.1;
k1=1;
%Calculamos el número de subintervalos
N=round((tN-t0)/h);
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN;
%Definimos el vector y
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
    y(i+1)=y(i)+h*k1*(a0-y(i))*(b0-y(i));
end
%Dibujamos la grafica
hold on
plot(t,y,'linewidth',2);
plot(t,(a0-y),'g','linewidth',2);
plot(t,(b0-y),'r','linewidth',2);
legend('C','A','B');
xlabel('tiempo(s)');
ylabel('concentracion[mol/l]');
hold off

centro

Como se observa en la gráfica, la concentración de C aumenta en la proporción que disminuyen los reactivos A y B. Podemos ver que la velocidad disminuye en el tiempo según una ley asintotica hasta ser nula cuando se agota el reactivo limitante, en nuestro caso el B.

6 Resolucion numerica con los metodos del trapecio y Runge-Kutta

6.1 M.Trapecio

CODIGO

6.2 M.Runge-Kutta

CODIGO

7 Reaccion consecutiva

Supongamos ahora que se produce una reaccion consecutiva de la forma: A + B →k1 C →k2 D El PVI es un sistema de ecuaciones en el cual, la primera refleja la produccion de C y la segunda represenda la produccion de D, estando esta relacionada con la cantidad de producto C que se ha producido en funcion del tiempo. Los valores en t=0 son las concentraciones iniciales de los productos, es decir, nulos.

• y1'(t)=k1*(a0-y1(t))*(b0-y1(t))
• y2'(t)=k2*(y1(t)-y2(t))
• y1(0)=y2(0)=0