Explotación Minera (G15-C)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Explotación minera. Grupo 15-C
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2014-15
Autores	Belén Salamanca, M.Rosario Ruiz Serrano , Almudena Román, Carmén Rocio LLanes, Elena Suta, Sergio Fernández
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

1.2 Valor de la tasa intrínseca de crecimiento (r)

Como ya se ha comentado anteriormente la función P(producción) es la derivada de la cantidad extraída de material, sabemos que la producción máxima es de 240, por tanto, derivando la función obtenemos donde se produce el máximo que introducido en la ecuación P e igualando a 240 se obtiene el valor de la tase de crecimiento r pedido de 0,06

{tengo el desarrollo a mano pero es un tocho matemático, que hacemos con ello }

1.3 Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraídas modelo de Verhulst

    Volvemos a dibujar la curva del modelo de Gompertz descrita en el apartado anterior, y en una segunda ventana la curva de Verhulst. Para ello, necesitamos definir una nueva función, así como una nueva tasa intrínseca de crecimiento. Añadimos una tercera ventana en la que se dibujan las gráficas de ambos modelos, para poder compararlas. Necesitamos el siguiente código matlab para obtener los resultados:

[math] Q'=rQ(1-\frac{Q}{k}) [/math]

b=240;
k=10875;
r1=b*exp(1)/k;%Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Gompertz 
r2=(240*4)/10875; %Tasa intrinseca de creciemiento según el modelo de Verhulst
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r1*q(i)*log(k/q(i)); %Gompertz
PV(i)=r2*q(i)*(1-q(i)/k);  %Verhulst
end
subplot(1,3,1)
plot(q,P,'k') %Curva para la función de Gompertz
xlabel('cantidad')            
ylabel('produccion')         
subplot(1,3,2)
plot(q,PV,'r') %Curva para la función de Verhulst
xlabel('cantidad (tn)')      
ylabel('produccion (tn/año)') 
subplot(1,3,3) %Comparación entre las curvas de ambos modelos
plot(q,P,'k')                   
xlabel('cantidad')             
ylabel('produccion')         
hold on %Para superponer gráficas                   
plot(q,PV,'r')              
xlabel('cantidad (tn)')        
ylabel('produccion (tn/año)')  
legend('Modelo Gompertz','Modelo Verhulst','Location','best') %Leyenda
hold off

Comparación de gráficos

1.4 Problema de valor inicial y aproximación de la cantidad de material extraído por el método de Euler

t0=0;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
t(1)=t0;
q(1)=0.1;
Q=-k/(exp(exp(r*t)));
i=1;
while 1
    q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i));
    t(i+1)=t(i)+h;
    if i>1&&abs((r*q(i)*log(k/q(i)))-25)<0.1&&abs((r*q(i-1)*log(k/q(i-1))))>abs((r*q(i)*log(k/q(i))));
      
        break
    end
    i=i+1;
end
[t',q']
plot(t,q)

1.5 Aproximación de la cantidad de material extraído con los métodos de Runge kutta y Heun

clear all
%Condiciones iniciales
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
%Variable dependiente
t=t0;
q(1)=q0;
z(1)=q0;
i=1;
while 1
K1=r*q(i)*(log(k)-log(q(i)));
K2=r*(q(i)+1/2*K1*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K1*h));
K3=r*(q(i)+1/2*K2*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K2*h));
K4=r*(q(i)+K3*h)*(log(k)-log(q(i)+K3*h));
q(i+1)=q(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t(i+1)=t(i)+h;
    if i>1&&abs(r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*(log(k)-log(q(i-1)))>r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))
        break
    end
   i=i+1;
end
i=1;
while 1
    K1=r*z(i)*(log(k)-log(z(i)));
    K2=r*(z(i)+K1*h)*(log(k)-log(z(i)+K1*h));
    z(i+1)=z(i)+h/2*(K1+K2);
    t(i+1)=t(i)+h;
    if i>1&&abs(r*z(i)*(log(k)-log(z(i)))-25)<0.1&&r*z(i-1)*(log(k)-log(z(i-1)))>r*z(i)*(log(k)-log(z(i)))
        break
    end
i=i+1;
end
hold on
plot(t,q,'b*')
plot(t,z,'r+')
legend('RK4','HEUN','location','best')
hold off