Usuario:Grupo8C

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Modelo térmico aplicado a un edificio. Grupo 8-C
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2014-15
Autores	Miguel Arbaizar, Cristino Pérez , Javier Mellado , Alejandro López
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

A lo largo de este trabajo, formularemos un modelo matemático para estudiar el comportamiento de la temperatura en el interior de un edificio durante un periodo de 24 horas. La temperatura dependerá de las siguientes variables:

• Temperatura exterior [M(t)]
• Calor producido en el interior por las personas, luces, máquinas, etc. [H(t)]
• Calentamiento y enfriamiento por la calefacción y/o aire acondicionado [U(t)]

Utilizaremos un análisis compartimental según el cual consideraremos a nuestro edificio como un solo compartimento en el que su temperatura estará designada por T(t).

2 Problema de valor inicial (P.V.I)

La razón de cambio de la temperatura quedará determinada según el problema de valor inicial o de Cauchy:

T'=k(M(t)-T)+H(t)+U(t), t>0

T(0)=T0

Donde k es una constante real que depende de las condiciones del edificio tales como el número de ventanas, aislamiento, etc.

3 Estudio de la temperatura interior

3.1 En función exclusivamente de la temperatura exterior [M(t)]

En este caso vamos a considerar que al final del día (t0=0), la temperatura exterior permanece constante (M=8), y tanto el calor producido en el interior como el aportado por la calefacción/aire acondicionado es nulo (H=U=0). La temperatura para t0=0 (medianoche) será de 14 grados ºC.

La constante de tiempo del edificio nos da una medida de cuánto tarda en cambiar considerablemente la temperatura del edificio. Esta constante también es conocida como la constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior. La expresión será k=1/t, que en esta primera hipótesis será 1/3.

El problema de valor inicial (P.V.I) en este caso será:

T'=1/3(8-T), t>0

T(0)=14

3.1.1 Método de Euler Implícito

Con la ayuda de Matlab, vamos a resolver el P.V.I con un tamaño de paso h=0.01

Archivo:Eulerimpapartado1

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3.2 En función de la temperatura exterior [M(t)] y el calor producido en el interior [H(t)]

En este ocasión vamos a considerar que sí existe una razón de calentamiento adicional [H(t)], que suponemos permanece constante (H=3). De la misma manera que en el apartado anterior el calor aportado por la calefacción/aire acondicionado es nulo (U=0). La constante de tiempo será k=1/3 y la temperatura para t0=0 (medianoche) será de 13 grados ºC.

A diferencia del caso anterior, la temperatura exterior [M(t)] no permanece constante, si no que varía en forma de onda senoidal durante un periodo de 24 horas, con su mínimo en t=0 (medianoche) y su máximo en t=12 (mediodía), de la siguiente manera: M(t)=M0-B*cos(wt). En el caso que nos ocupa, M0 recibirá el valor de 7 grados ºC, B el valor de 5 grados ºC y w el valor de 2*π/24=π/12 radianes/hora.

A partir de la situación anteriormente descrita, planteamos el problema de valor inicial (P.V.I):

T'=1/3(7-5*cos(π/12*t)-T)+3, t>0

T(0)=13

3.2.1 Método de Euler

Con la ayuda de Matlab, vamos a resolver el P.V.I con un tamaño de paso h1=0.1, h2=0.01 y h3=0.001.

3.2.2 Método de Runge-Kutta de orden 4

Con la ayuda de Matlab, vamos a resolver el P.V.I con un tamaño de paso h1=0.1, h2=0.01 y h3=0.001.

3.3 En función de la temperatura exterior [M(t)], el calor producido en el interior [H(t)] y el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado [U(t)]

A partir de este momento el estudio de la variación de la temperatura en el interior del edificio lo realizaremos suponiendo que está afectado por todas las variables. Existe una razón de calentamiento adicional [H(t)], que seguimos suponiendo constante (H=3). La temperatura para t0=0 (medianoche) será de 24 grados ºC.

La temperatura exterior [M(t)] sigue variando de forma de senoidal durante un periodo de 24 horas, con su mínimo en t=0 (medianoche) y su máximo en t=12 (mediodía), de la siguiente manera: M(t)=M0-B*cos(wt). En esta situación, M0 tiene un valor de 4 grados ºC, B un valor de 5 ºC y w el valor de 2*π/24=π/12 radianes/hora.

Suponemos que en el edificio del apartado anterior está instalado un termostato sencillo que se utiliza para comparar la temperatura interior del edificio con una temperatura deseada TD. Si la temperatura es menor que la deseada, el calefactor proporciona calentamiento; si es mayor se mantiene apagado. Si la temperatura es mayor que la deseada, el airea acondicionado proporciona enfriamiento; en caso contrario se encuentra apagado. Suponemos que la cantidad de calor o enfriamiento suministrado es proporcional a la diferencia de temperatura U(t) = Ku [TD − T(t)] , donde Ku es una constante positiva. En esta situación la constante Ku tiene un valor de 7/8 y la temperatura deseada es de 22 grados ºC.

Por lo tanto el P.V.I. que modeliza el esta situación será:

T'=1/3(4-cos(π/12*t)-T)+3+7/8*(22-T), t>0

T(0)=24

3.3.1 Método de Euler

Con la ayuda de Matlab, vamos a resolver el P.V.I con un tamaño de paso h1=0.1, h2=0.01 y h3=0.001.

3.3.2 Método de Runge-Kutta de orden 4

Con la ayuda de Matlab, vamos a resolver el P.V.I con un tamaño de paso h1=0.1, h2=0.01 y h3=0.001.

4 Estudio de la temperatura interior del edificio separado en dos zonas, A y B

Ahora vamos a suponer que el edificio está dividido en dos zonas, zona A y zona B. La temperatura en la zona A estará designada por [Ta(t)] en tanto que la temperatura de la zona B estará designada por [Tb(t)]. La temperatura inicial en la zona A será de 20 grados ºC mientras que la temperatura inicial de la zona B será de 18 grados ºC

En la zona A la razón de calentamiento adicional será [Ha(t)] y el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado [Ua(t)]. En la zona B la razón de calentamiento adicional será [Hb(t)] y el efecto de la calefacción y/o aire acondicionado [Ub(t)]. En este caso, para la zona A Ha(t)=10*t/(1+t) y Ua(t)=5/3*(22-Ta(t)). Para la zona B Hb(t)=4*cos(π/6*t) y Ub(t)=13/7*(23-Tb(t)).

La temperatura exterior variará en forma de onda senoidal durante un periodo de 24 horas, con su mínimo en t=0 (medianoche) y su máximo en t=12 (mediodía), de la siguiente manera tanto en la zona A como B: M(t)=M0-B*cos(wt). En esta situación, M(t)=2-7*cos(π/12*t).

La constante de tiempo de cada zona nos da una medida de cuánto tarda en cambiar considerablemente la temperatura de dicha zona. Esta constante también es conocida como la constante de tiempo de transferencia de calor entre el edificio y el exterior. Esta constante tendrá un valor de 1/4 entre la zona A y el exterior, un valor de 1/5 entre la zona B y el exterior y un valor de 1/2 entre la zona A y la zona B.

Para la resolución de este caso, tendremos que resolver un sistema de ecuaciones diferenciales, que será el siguiente:

Ta'= 1/4*(2-7*cos(π/12*t)-Ta) + 10*t/(1+t) + 5/3*(22-Ta(t)) + 1/2*(Tb-Ta)

Tb'= 1/5*(2-7*cos(π/12*t)-Tb) + 4*cos(π/6*t) + 13/7*(23-Tb(t)) - 1/2*(Tb-Ta)

4.1 Método de Euler

Con la ayuda de Matlab, vamos a resolver el P.V.I con un tamaño de paso h1=0.1, h2=0.01 y h3=0.001.

4.2 Método de Runge-Kutta de orden 4

Con la ayuda de Matlab, vamos a resolver el P.V.I con un tamaño de paso h1=0.1, h2=0.01 y h3=0.001.

4.3 Método de Euler Implícito

Con la ayuda de Matlab, vamos a resolver el P.V.I con un tamaño de paso h1=0.1, h2=0.01 y h3=0.001.

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