Explotación minera (Grupo 5C)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Explotación minera |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2014-15 |
| Autores | • Jaume Martorell Cerdá • Miguel Angel Serrano Leo • Carla Vázquez Gómara • Pablo Alonso Medina • Joaquín Sánchez Molina • Fernando Millán Cobo |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
- 1 Introducción
- 2 Relación entre cantidad y producción
- 3 Modelo de Gompertz: Valor de la tasa de crecimiento (r) y resolución de la función de producción
- 4 Modelo de Verhlust: Valor de la tasa de crecimiento (r) y resolución de la función de producción
- 5 Problema de valor inicial utilizando distintos métodos
1 Introducción
- El problema nos pide el análisis de la explotación de un yacimiento de mineral. Dicha explotación sigue un modelo logístico de Gompertz, cuya ecuación tiene la siguiente forma:
[math] {dQ \over dt}=rQlog ({K \over Q}) [/math]
donde Q(t) es la cantidad de mineral extraído, K la cantidad total extraíble y r la tasa intrínseca de crecimiento.
- En nuestro caso, sabemos que la extracción de mineral tendrá un crecimiento muy rápido de producción durante los primeros 25 años, momento a partir del cual descenderá lentamente debido a diversos factores. Además de esto, conocemos la cantidad total extraíble del yacimiento, por lo que nuestra ecuación inicial quedará de la siguiente forma:
[math] {dQ \over dt}=rQlog ({10875 \over Q}) [/math]
2 Relación entre cantidad y producción
Mediante las siguientes gráficas, se demuestra que la relación entre Q y P es la siguiente:
[math] {dQ \over dt}= P [/math]
o lo que es lo mismo: P=Q'
3 Modelo de Gompertz: Valor de la tasa de crecimiento (r) y resolución de la función de producción
4 Modelo de Verhlust: Valor de la tasa de crecimiento (r) y resolución de la función de producción
- Partimos de los siguientes datos iniciales:
- K= 10875 toneladas
- La ecuación del modelo de Verhlust es:
[ECUACION]
- Condición:
- P(t=25 años)= 240 t/año \rightarrow P(25)=240 \rightarrow Q'(25)=240
- Resolución:
El enunciado dice que la producción es máxima a los 25 años, por lo que si Q' tiene un máximo en un punto, Q"=0 en dicho punto.
Derivamos la ecuación inicial del modelo y la igualamos con la condición que hemos obtenido anteriormente.
[ECUACION]
Despejando esta ecuación llegamos a que Q(25 años)= 5437,5 t.
Conociendo Q(25) podemos despejar "r" de nuestro problema:
[CORCHETE CON LOS 2 DATOS INICIALES] [ECUACION]
Así obtenemos r=0,088276 De esta forma, nuestra ecuación del modelo de Verhlust quedará de la siguiente forma:
[ECUACION]
Y como sabemos que P=Q', la ecuación de P(t) es la siguiente:
[ECUACION]
