Campos en Elasticidad

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 16-A
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2014-15
Autores	Araceli Martín, Juan Carlos Durán, Francisco Javier Alcaraz, Álvaro Llera, Clara Callejo, Manuel
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad nos situaremos en el contexto de una placa plana que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

• [math]P1: 18y -81x^{2}-1=0 [/math]
• [math]P2: 2y +x^{2}-1=0 [/math]

Para representar la placa se utilizará un sistema de coordenadas curvilíneas tal que:

• [math]x=uv[/math]
• [math] y = \dfrac{1}{2}(u^2-v^2)[/math]

En nuestro análisis, el dominio de [math]u[/math] y [math]v[/math] comprenderá:: [math](u,v) \in [1/3,1]*[-1,1][/math]

1 º Representación de la placa

1.1 Representación del mallado del sólido

Comenzaremos con la representación de la placa mediante un mallado, utilizando, en el código, la conversión a coordenadas curvilíneas de [math]u[/math] y [math]v[/math]. El intervalo en el que representaremos comprende::

[math](x,y) \in [-1,1]*[-1,1][/math]

Para discretizar los vectores [math]u[/math] y [math]v[/math] utilizaremos un paso [math] h = \dfrac{1}{20}[/math].

Código en Matlab:

h=1/20;                             % Paso de muestreo.
u=1/3:h:1;                          % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1;                           % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);              % Matrices de datos.
xx=uu.*vv  ;                        % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));        % Parametrización Y.
plot(xx,yy);                        % Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx)                    % Mallado.
axis([-1,1,-1,1])                   % Selecciona la región a dibujar.
view(2)                             % Ver imagen desde arriba.

Los resultados de la representación se ven en la imagen:

Mallado que representa la superficie de la placa comprendida entre las parábolas [math]P1[/math] y [math]P2[/math].

1.2 Líneas coordenadas

Cuando se hace uso de cambio de coordenadas a ciertas coordenadas curvilíneas, es útil para el entendimiento de la transformación la representación de las Líneas Coordenadas. Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación ([math]u[/math] o [math]v[/math]) y manteniendo fija la restante. En este estudio hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a [math]u[/math] o a [math]v[/math], dentro de sus respectivos intervalos, y representar la gráfica que queda en función de variar la otra variable.

xx11=uu.*0.5  ;                           % -----------------------------------------------Parametrización X.
    yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2));           % ----------------------------------------------Parametrización Y.
    xx12=uu.*-0.5  ;                          % -----------------------------------------------Parametrización X.
    yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2));        % ----------------------------------------------Parametrización Y.
    xx13=uu.*1  ;                             % -----------------------------------------------Parametrización X.
    yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2));             % ----------------------------------------------Parametrización Y.
    xx14=uu.*-1  ;                            % -----------------------------------------------Parametrización X.
    yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2));          % ----------------------------------------------Parametrización Y.
    xx15=uu.*0.75  ;                          % -----------------------------------------------Parametrización X.
    yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2));          % ----------------------------------------------Parametrización Y.
    xx16=uu.*-0.75  ;                         % -----------------------------------------------Parametrización X.
    yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2));       % ----------------------------------------------Parametrización Y.
    xx17=uu.*0  ;                             % -----------------------------------------------Parametrización X.
    yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2));             % ----------------------------------------------Parametrización Y.

Líneas coordenadas fijando la variable [math]v[/math] y [math]u[/math], respectivamente.

1.3 Base Natural

Cuando se realiza una transformación a coordenadas curvilíneas (de [math]x[/math] e [math]y[/math] a [math]u[/math] y [math]v[/math]), el vector de posición [math] \vec{r_0}[/math] se expresa como:

[math] \vec{r_0}=x\hat{e_1} +y \hat{e_2} =uv\hat{e_1} +\dfrac{1}{2}(u^2-v^2) \hat{e_2} [/math]

La base natural [math]\vec{g_u}, \vec{g_v}[/math] es la que tiene por vectores el resultado de derivar el vector posición [math] \vec{r_0}[/math] según las nuevas coordenadas [math]u[/math] y [math]v[/math]. Dado que es un problema sobre una placa plana, estamos en una situación de dos dimensiones en la que para cualquier base, sólo se requieren dos vectores, ([math]\vec{g_u}, \vec{g_v}[/math]). No obstante, para cuestiones que trataremos posteriormente será necesario considerar una tercera coordenada (por ejemplo, para el cálculo del rotacional), por ello, incluiremos en nuestra base natural el vector [math]\vec{g_w}[/math].

• [math] \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}[/math]
• [math] \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}[/math]

El código de Matlab utilizado para hallar los vectores [math]\vec{g_u}, \vec{g_v}[/math] es :

subplot(3,3,4);            % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
    hold on                    % Inicio superposición de gráficos
    mesh(xx,yy,0*xx)           % Mallado completo.
    quiver(xx,yy,vv,uu);       % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
    quiver(xx,yy,uu,-vv);      % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto. 
    axis([-1,1,-1,1])          % Selecciona la regíon a dibujar.
    view(2)                    % Ver imagen desde arriba.
    hold off                   % Fin superposición de gráficos.

La imagen que se obtiene con este código es:

Representación de los vectores de la base natural [math]\vec{g_u}[/math] y [math]\vec{g_v}[/math]

Resulta coherente porque los vectores dibujados son tangentes a las líneas coordenadas (Recordamos que [math]\vec{g_u}[/math] y [math]\vec{g_v}[/math] se obtienen al derivar el vector de posición [math] \vec{r_0}[/math] con respecto a [math]u[/math] y [math]v[/math]).

2 º Acción de la temperatura en la placa

2.1 Influencia de un foco de calor

La temperatura proviene de un foco de calor dada por el campo escalar [math]T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2} [/math]

f=(8-yy.^2+yy.*2).*exp(-(xx.^2));    % Función Temperatura.
subplot(1,2,1);                      % Muestra varias imágenes. 1ª Imagen.
contour(xx,yy,f,20);                 % Define 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1])                    % Selecciona la región a dibujar.
view(2)                              % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2);                      % Muestra varias imágenes. 2ª Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar;             % Visualización de superficie en 3D más leyenda en color.
axis([-1,1,-1,1])                    % Selecciona la región a dibujar.
view(2)                              % Ver imagen desde arriba.
max(max(f))                          % Valor máximo de la temperatura en toda la región

2.2 Gradiente de T y curvas de nivel

El gradiente de una función escalar expresa la dirección en la cual el campo crece más rápido. Por otra parte,las curvas de nivel expresan los puntos que se encuentran a la misma altura, en nuestro caso, aquellos que tienen la misma temperatura. Por tanto, si tenemos dos curvas de nivel y estamos en un punto de la menor, el gradiente será el vector de mínima distancia a la otra curva de nivel, siendo por tanto perpendicular a ambas. [math]\nabla T(x,y)= \frac{\partial T}{\partial x} \hat{e_1}+\frac{\partial T}{\partial y}\hat{e_2}=[-2xe^{-x^2}(8-y^2+2y)]\hat{e_1}+[(-2y+2)e^{-x^2}]\hat{e_2}[/math]

h=1/20;                                               % Paso de muestreo.
u=1/3:h:1;                                            % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1;                                             % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v);                                % Matrices.
xx=uu.*vv  ;                                          % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));                          % Parametrización Y.
f=(8-yy.^2+yy.*2).*exp(-(xx.^2));                     % Función Temperatura.
fx =(-2.*xx).*(exp(-(xx.^2))).*(8-yy.^2+2.*yy);       % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(exp(-(xx.^2))).*(-2.*yy+2);                       % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on                                               % Fin superposición de gráficos.
quiver(xx,yy,fx,fy)                                   % Representación de los vectores gradiente. 
contour(xx,yy,f,20);colorbar;                         % Visualización de superficie en 3D más leyenda en color.
view(2)                                               % Ver imagen desde arriba.
hold off                                              % Fin superposición de gráficos.

3 Acción de una fuerza sobre sólido

3.1 Campo de desplazamientos

Una fuerza determinada aplicada sobre nuestro sólido ha provocado un desplazamiento del mismo que viene dado por [math] \vec{u}(x,y) [/math] . Este vector será [math]\vec u(u,v)=\vec a(\vec b\cdot\vec r_{o})[/math] siendo :: [math] \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=-4\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}[/math].

Como hemos hallado anteriormente [math]\vec{g_u}=v \vec{e_1} +u \vec{e_2} [/math]. Tomaremos:: [math]\vec{r_o}= x\vec {e_1}+y\vec {e_2}= uv\vec {e_1}+ \frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec {e_2}[/math].

Con todo esto: [math]\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g_u}}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u}\cdot\vec{r_o})=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2} \vec{g_u}=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v \vec{e_1} +u \vec{e_2})[/math] La representación del campo de desplazamiento [math]\vec{u}[/math] será la siguiente:

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante [math]t_{0}[/math] debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector [math]\vec u[/math]: [math]\vec u(u,v)=\vec a(\vec b\cdot\vec r_{o})[/math]

3.3 Cálculo del rotacional de un campo vectorial

La expresión del rotacional de un campo vectorial [math]\vec{u}[/math] se halla por la siguiente expresión: [math]\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix}[/math]

De nuevo necesitaremos definir una tercera componente [math]\vec{g_w}[/math] para el cálculo de ese determinante. [math]\vec{g_w}=\vec{e_3}[/math]

[math]\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} \vec{g_u} & \vec{g_v} & \vec{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix} = \frac{1}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} \vec{g_u} & \vec{g_v} & \vec{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -2u(u^2+v^2) &0&0\end{bmatrix}=\frac{u^2+v^2}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\-2u&0&0\end{bmatrix}= -2u ( \frac{\partial g_{v} }{\partial w} - \frac{\partial g_{w} }{\partial v} )-2u=0[/math]

5 Masa de la placa

N1=200; N2=200;                          % Número de puntos.
a=1/3; b=1; c=-1; d=1;                   % Extremos de los intervalos.
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2;                % Pasos.
u=a:h1:b; v=c:h2:d;                      % Intervalos.
[uu,vv]=meshgrid(u,v);                   % Matrices.
xx=uu.*vv;                               % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));             % Parametrización Y.
d=(xx.*yy).*(exp(-1./(xx.^2)));          % Función Densidad.
D=abs(d);                                % Función Densidad en valor absoluto.
w1=ones(N1+1,1);                         % Matriz de N1+1 elementos unidad.
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;                   % Primer y último de la matriz w. 
w2=ones(N2+1,1);                         % Matriz de N2+1 elementos unidad.
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;                   % Primer y último de la matriz w. 
result=h1*h2*w2'*d*w1                    % Masa obtenida con la función densidad d.
result=h1*h2*w2'*D*w1                    % Masa obtenida con la función densidad D.