Circuitos eléctricos RL

1 Introducción

El circuito eléctrico mas simple esta compuesto de una resistencia,un inductor o bobina y una fuente de alimentación.

• En una resistencia R, la Ley de Ohm establece:

 [math]i(t)={V(t)\over R}[/math]

• En un inductor L la Ley de Faraday dice:

[math] V(t)=L\cdot i'(t)[/math] Donde i(t) es la intensidad de corriente, V(t) el voltaje, R la resistencia y L la inductancia o bobina. Las leyes de Kirchoff dicen:

1. Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
2. Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado, la suma de diferenciales de potencias es nula.

2 Ecuacion diferencial

Un circuito RL cerrado, mediante las leyes de Kirchoff nos da la siguiente ecuacion diferencial:

[math] i'(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0 [/math]

El hecho de que en t=0 el circuito esté abierto, significa que no circula corriente, es decir que [math] i_0(t)=0 [/math]. Con estas condiciones: [math] V(t)=10V, L=0.2 y R=5Ω [/math] y la anterior nos sale como solucion de la ecuacion diferencial:

    [math] i(t)=2-2e^{-25t} [/math]

con la gráfica:

Ecuación

3 Método de Euler

t0=0;
tN=0.5;
y0=0;
N=100;
h=(tN-t0)/100;
yy=y0;
y(1)=yy;
for n=1:N;
yy=yy+h*(50-25*yy);
y(n+1)=yy;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,y,'-g','linewidth',3);
xlabel('Tiempo');
ylabel('Intensidad');

• El paso de discretización temporal para que el método sea estable ha de ser pequeño, por estar usando un método explícito para aproximar una función exponencial de elevada pendiente.En este caso lo hemos elegido del orden de h=1/100.

Ecuación: Método Euler

4 Método del trapecio

t0=0;
tN=0.5;
y0=0;
N=50;
h=(tN-t0)/N;
yy=y0;
y(1)=yy;
for n=1:N;
yy=(yy+h*(50-12.5*yy))/(1+12.5*h);
y(n+1)=yy;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,y,'-r','linewidth',3);
xlabel('Tiempo');
ylabel('Intensidad');

Ecuación: Método Trapecio

5 Euler con condiciones iniciales distintas

Si ahora tenemos un circuito por el que circula una corriente de 2A y desconectamos el generador del circuito, entonces la intensidad disminuirá progresivamente en el tiempo.

t0=0;
tN=0.5;
y0=2;
N=500;
h=(tN-t0)/500;
yy=y0;
y(1)=yy;
for n=1:N;
yy=yy+h*(-25*yy);
y(n+1)=yy;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,y,'-r','linewidth',3);
xlabel('Tiempo');
ylabel('Intensidad');

Ecuación: Método Euler 2

6 Sistema de ecuaciones

De acuerdo a las leyes de Kirchoff, el sistema de ecuaciones correspondiente a la figura en cuestión es el siguiente:

[math] E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)[/math]:

[math] E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)[/math]:

[math] i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)[/math]

Sustituyendo la tercera ecuación en las otras dos se obtiene el sistema en términos de [math] i_2(t) [/math] e [math] i_3(t) [/math]:

[math] E(t)=R_1{i_2(t)+i_3(t)}+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)[/math]:

[math] E(t)=R_1{i_2(t)+i_3(t)}+L_1i'_3(t) [/math]

A partir de las condiciones iniciales [math] i_2(0)=i_3(0)=0 [/math] podemos interpretar que la corriente en el circuito es nula en el momento inicial en el que se conecta el generador.

Si añadimos un nuevo ciclo con una resistencia [math] R_3 [/math] e inductor [math] I_3 [/math] (similares a [math] R_2 [/math],[math] L_2 [/math]) el sistema de ecuaciones varía del siguiente modo:

[math] i'_3(t)={E(t)\over L_3}-{{R_1+R_2+R_3}\over L_3}i_3(t)-{{R_1+R_2}\over L_3}i_4(t)+{R_1\over L_3}i_5(t) [/math]:

[math] i'_4(t)={E(t)\over L_2}-{{R_1+R_2}\over L_2}i_3(t)-{{R_1+R_2}\over L_2}i_4(t)-{R_1\over L_2}i_5(t) [/math]:

[math] i'_5(t)={E(t)\over L_1}-{R_1\over L_1}i_3(t)-{R_1\over L_1}i_2(t)-{R_1\over L_1}i_5(t) [/math]

7 Sistema de ecuaciones: Euler

clear all
t0=0;
tN=0.3;
i0=[0 0]';
N=1000;
A=[-4800 -2400;-300 -300];
h=(tN-t0)/N;
ii=i0;
i2(1)=i0(1);
i3(1)=i0(2);
for n=1:N;
ii=ii+h*(A*ii+[4000;500]);
i2(n+1)=ii(1);
i3(n+1)=ii(2);
end
t=t0:h:tN;
figure(3)
plot(t,i2,'-g','linewidth',3);
hold on
plot(t,i3,'-r','linewidth',3);
xlabel('Tiempo');
ylabel('Intensidad');

Sistema: Método Euler

8 Sistema de ecuaciones: Trapecio

clear all
t0=0;
tN=0.3;
i0=[0 0]';
N=1000;
A=[-4800 -2400;-300 -300];
h=(tN-t0)/N;
ii=i0;
i2(1)=i0(1);
i3(1)=i0(2);
for n=1:N;
ii=ii+h*(A*ii+[4000;500]);
i2(n+1)=ii(1);
i3(n+1)=ii(2);
end
t=t0:h:tN;
figure(3)
plot(t,i2'-g','linewidth',3);
plot(t,i3,'-r','linewidth',3);
xlabel('Tiempo');
ylabel('Intensidad');
hold off

Sistema: Método Trapecio

9 Apartado 6

Con los datos del apartado anterior y teniendo en cuenta que para [math]t=0.3[/math] el valor de las intensidades es [math]i_1=i_2=1A[/math] se pide el valor inicial de dichas intensidades. Tras introducir estos datos en el Matlab de la manera que se muestra a continuación, se obtiene la gráfica que representa los valores de i1 e i2 en función del tiempo en el intervalo desde [math]t=0[/math] hasta [math]t=0.3[/math].

clear all;
t0=0;
tN=-0.001;
i0=[1 1]';
N=500;
A=[-4800 -2400;-300 -300];
h=(tN-t0)/N;
ii=i0;
i2(1)=i0(1);
i3(1)=i0(2);
for n=1:N;
    ii=ii+h*(A*ii+[400;500]);
    i2(n+1)=ii(1);
    i3(n+1)=ii(2);
end
t=t0:h:tN;
figure(4);
hold on
plot(t,i2,'-g','linewidth',3);
plot(t,i3,'-r','linewidth',3);
xlabel('Tiempo');
ylabel('Intensidad');
hold off

Apartado 6