Placa en forma de Anillo
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Transmisión de calor en placa con forma de anillo. Grupo 11-B |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2013-14 |
| Autores | Javier Chamizo, Jacobo Campos, Miguel García, Javier Mellado, Alfonso Ascanio |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Transmisión de calor en una placa con forma de anillo. Es bastante común modelizar el comportamiento del calor en superficies mediante las ecuaciones diferenciales, y además dada la particularidad de la forma de nuestro caso, utilizando coordenadas polares.
Contenido
1 Introducción
Tenemos la placa que se ve en la imagen superior con las siguientes condiciones. Colocamos en las fronteras interior ρ = 1 y exterior ρ = 6, que sabemos que mantienen una temperatura constante de 0 grados y 10 grados respectivamente como si estuviesen en contacto con un depósito. La placa a su vez dispone de las siguientes condiciones iniciales de temperatura u(p,0):
[math]\left\{\begin{matrix}100·(p-1) → p ∈ [1, 2] \\100 → p ∈ [2, 5]\\90·(6-p)+10 → p ∈ [5, 6]\end{matrix}\right.[/math]
Además tenemos condiciones tipo Dirichlet en los extremos ya que se mantiene constante la temperatura a lo largo del tiempo en estos al tener objetos que mantienen la temperatura constante en contacto con los mismos:
[math]\left\{\begin{matrix}u(1,t)=0 \\u(6,t)=10\end{matrix}\right.[/math]
Por otro lado la ecuación del calor es:
[math] u_t-\Delta u=0 \ltmath\gt Sin embargo al tomar el Laplaciano esta queda transformada en: Debido a que el ángulo teta y la altura Z se mantienen constantes al ser una figura plana, el Laplaciano en coordenadas cilíndricas es el siguiente: \ltmath\gt\Delta u=\frac{1 }{p} \frac{\partial }{\partial p} (p\frac{\partial u }{\partial p})+\frac{1 }{p^2} \frac{\partial^2 u }{\partial θ^2}+\frac{\partial^2 u }{\partial z^2}= \frac{\partial^2 u }{\partial p^2}+\frac{1 }{p}\frac{\partial u}{\partial p} [/math]
Quedando así similar al sistema que obtendríamos con una barra con longitud entre 1 y 6.
2 Resolución del Sistema por diferencias finitas
Aquí se va a resolver el problema planteado por el método de diferencias finitas con paso de discretización ∆p = 0.1; y para el tiempo usaremos en cada caso los métodos del trapecio, Euler modificado, explícito e implícito. Todos ellos tomando ∆t = ∆p/4 en t ∈ [0, 10]
