Modelo predador-presa(grupo 20)

1. Interpretación del problema Para la interpretación del modelo matemático de dinámica de poblaciones para el caso de depredadores y presas, partiremos de las siguientes hipótesis:

1- Existe una población de presas y otra de depredadores.

2- La presa dispone de alimento suficiente para un crecimiento constante de su población, y el depredador solo se alimenta de la presa.

3- Consideramos la tasa de natalidad de la presa como una ley Malthusiana Axp. En el caso del depredador, consideraremos su tasa de natalidad en función de las iteraciones con la presa, siendo esta Bxpxd.

4- Analizar la tasa de mortalidad de la especie presa en función de las iteraciones con el depredador, siguiendo la misma ley de natalidad del depredador Dxpxd. En el caso de la especie depredadora, la tasa de mortalidad seguirá una ley Malthusiana –Cxd

5- Los parámetros A,B,C,D, son constantes siempre positivas.

En nuestro problema, consideramos dos especies presa (X1,X2)y una depredadora (Y1). La razón de crecimiento de ambas especies presa en función del tiempo será la misma, variando las constantes, siendo estas:

Presa 1 : (dx1/dt)=A1x1-A2x1y1

Presa 2: (dx2/dt)=B1x2-B2x2y1

Se observa que la población de presas, al disponer de una fuente de alimento inagotable, crecería de forma lineal continuamente. Al existir una especie depredadora se corrige esa tasa de crecimiento, añadiendo una componente negativa a la evolución de la población. La razón de crecimiento de la especie depredadora, seguirá una ley en función de ambas presas:

Depredador: (dy1/dt)=-C1y1+C2x1y1+C3x2y1

Para la resolución del problema de valor inicial, se añaden las condiciones iniciales para cada especie, siendo estas:

X1(0)=p0 (Población inicial de la presa1)

X2(0)=q0 (Población inicial de la presa 2)

Y1(0)=d0 (Poblacion inicial del depredador)

Establecidas las ecuaciones de las razones de crecimiento de cada población, y sus poblaciones iniciales, se plantea el problema matemático.

2.Euler Modificado

2.1Resolución numérica

[0,100] Años:

%condiciones temporales
ti=0; tf=100;
h=0.1;
N=(tf-ti)/h;
%condiciones iniciales
y0=[2;1.4;1];
y=y0;
%vectores de población
X1(1)=y(1);
X2(1)=y(2);
Y1(1)=y(3);
%constantes para la resolución del problema
A=[0.35 0 0;0 0.3 0;0 0 -0.37];
B=[-0.6;0;0.04];
C=[0;-0.5;0.035];
%iteraciones
for i=1:N
    k1=(A*y+y(1)*y(3)*B+y(2)*y(3)*C);
    k2=(A*(y+h*k1)+(y(1)+h*k1(1))*(y(3)+h*k1(3))*B+(y(2)+h*k1(2))*(y(3)+h*k1(3))*C);
    %aplicamos Euler
    y=y+(h/2)*(k1+k2);
    X1(i+1)=y(1);
    X2(i+1)=y(2);
    Y1(i+1)=y(3);
end
%vector tiempo
t=ti:h:tf;
%Gráficas
figure(1)
hold on
plot(t,X1,'r')
plot(t,X2,'b')
plot(t,Y1,'g')
title('poblaciones de: presa X1 (rojo), presa X2 (azul)y depredador (verde)');
xlabel('tiempo en años');
ylabel('población en millones');
hold off
figure(2)
subplot(3,1,1)
plot(X1,Y1,'r')
title('poblaciones de depredador Y1 en función de presa X1');
xlabel('X1(millones)');
ylabel('Y1(millones)');
subplot(3,1,2)
plot(X2,Y1,'b')
title('poblaciones de depredador en función de presa X2');
xlabel('X2(millones)');
ylabel('Y1(millones)');
subplot(3,1,3)
plot(X2,X1,'g')
title('poblaciones de presa X1 en función de presa X2');
xlabel('X2(millones)');
ylabel('X1(millones)');

• 

• 

[0,300] Años: Sustituyendo el valor del tiempo final en el programa anterior, resulta la siguiente gráfica:

• 

• 

En el gráfico de la evolución de poblaciones en el tiempo se puede interpretar 2 echos: A) Las presas son evidentemente alimento de los depredadores, observando que un gran número de presas sienta el terreno para un posterior crecimiento exponencial de depredadores ya que disponen de alimento de sobra para su reproducción; a medida que la población de depredadores va creciendo se reduce el numero de presas y en consecuencia, el alimento necesario para la sostenibilidad de la especie, que se ve mermada por esta hambruna. Complementariamente, a menor número de depredadores mayor es el de presas, dado que hay menos enemigos. De esta forma se establece una evolución senoidal de las poblaciones, acompasadas las presas y contrapuesta a la de depredadores. B) Dado el valor de los parámetros según el entorno y diversos factores, se puede afirmar que hay una presa débil y otra fuerte, destinadas la primera a la extinción y la segunda a la reproducción en un número infinito de ejemplares. Este último echo nos indica la inestabilidad de este ecosistema, el cual no puede admitir un número infinito de ejemplares de ninguna especie.

2.2 Interacción de especies

Los gráficos que combinan especies en los ejes coordinados, reflejan la relación cíclica que tienen éstas (A mayor número de presas, mayor evolución de depredadores y por consiguiente reducción de las anteriores, formando así hélices continuas. Al no converger éstas en ningún punto, se deduce la inestabilidad del ecosistema que tiende a crecer infinitamente.

3.Método de Euler

3.1 h=1

Para el paso del tiempo de año en año, es decir, h=1, el modelo numérico no es capaz de dar una solución para el problema.

3.2 h=0.1

En el caso de h=0.1, se resuelve el problema numéricamente de esta forma:

ti=0;2
tf=300;
h=0.1;
N=(tf-ti)/h;
y0=[0.8;2.4;0.2];
y=y0;
%Población inicial de presas
X1(1)=y(1);
X2(1)=y(2);
%Población inicial de depredadores
Y1(1)=y(3);
%Vector de las constantes
A=[0.35 0 0;0 0.3 0;0 0 -0.37];
B=[-0.6;0;0.04];
C=[0;-0.5;0.035];
%Iteraciones
for i=1:N;
    y=y+(h*(A*y+y(1)*y(3)*B+y(2)*y(3)*C));
    X1(i+1)=y(1);
    X2(i+1)=y(2);
    Y1(i+1)=y(3);
end
%Vector tiempo
t=ti:h:tf;
%Gráficas
figure(1);
hold on
plot(t,X1,'r');
plot(t,X2,'b');
plot(t,Y1,'g');
title('Población de presas: X1(Rojo), X2(azul) y depredadores: Y1(verde) en función del tiempo');
xlabel('tiempo en años');
ylabel('población (millones)');
hold off
figure(2)
subplot(2,1,1)
plot(X1,Y1,'r');
title('Población de depredadores en función de las presas X1');
xlabel('X1(milllones)');
ylabel('Y1(millones)');
subplot(2,1,2)
plot(X2,Y1,'b');
title('Población de depredadores Y1 en función de las presas X2');
xlabel('X2(milllones)');
ylabel('Y1(millones)');

Obteniendo así la gráfica de la evolución de las especies en el tiempo:

• 

  Descripción1

En el gráfico de la evolución de poblaciones en el tiempo se puede interpretar mismo análisis realizado en el apartado 2

En el intervalo de tiempo de 0 a 300 años podemos establecer estos máximos y mínimos de población:

	Presa X1	Presa X2	Depredador Y1
Maximo (millones)	9,67	112,5	8,2
Tiempo (años)	10	249,5	250,8
Mínimo (millones)	2,81e07	2,84e04	5,62e05
Tiempo (años)	258	258	241,1

3.3 Interacción de especies centro

En los gráficos de la interacción entre especies se observa que el ecosistema que hemos planteado no es estable ya que la estabilidad del mismo se daría en el orígen de coordenadas (punto en el que no hay especies) y en el centro de las espirales a tiempo infinito, pero como dicho centro se va desplazando en ambos ejes sugiere que la población de depredadores y presas X2 tiende a infinito, lo cual es inviable. Ésta última afirmación concuerda con el gráfico de la evolución temporal de las especies.

4. Runge-Kutta

CÓDIGO MATLAB PARA LA RESOLUCIÓ NUMERICA DEL PROBLEMA POR EL MÉTODO DE RUNGE-KUTTA

ti=0;
tf=500;
h=0.1;
N=(tf-ti)/h;
y0=[3.5;0.2;0.4];
y=y0;
%Población inicial de presas
X1(1)=y(1);
X2(1)=y(2);
%Población inicial de depredadores
Y1(1)=y(3);
%Vector de las constantes
A=[0.4 0 0;0 0.2 0;0 0 -0.37];
B=[-0.7;0;0.04];
C=[0;-0.4;0.03];
%Iteraciones
for i=1:N;
     k1=(A*y+y(1)*y(3)*B+y(2)*y(3)*C);
     k2=(A*(y+(h/2)*k1)+(y(1)+(h/2)*k1(1))*(y(3)+(h/2)*k1(3))*B+(y(2)+(h/2)*k1(2))*(y(3)+(h/2)*k1(3))*C);
     k3=(A*(y+(h/2)*k2)+(y(1)+(h/2)*k2(1))*(y(3)+(h/2)*k2(3))*B+(y(2)+(h/2)*k2(2))*(y(3)+(h/2)*k2(3))*C);
     k4=(A*(y+h*k3)+(y(1)+h*k3(1))*(y(3)+h*k3(3)*h)*B+(y(2)+k3(2)*h)*(y(3)+k3(3)*h)*C);
     y=y+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
     X1(i+1)=y(1);
     X2(i+1)=y(2);
     Y1(i+1)=y(3);
end
%Vector tiempo
t=ti:h:tf;
%Gráficas
figure(1);
hold on
plot(t,X1,'r',t,X2,'b',t,Y1,'g');
title('Evolución de la población de presas X1, X2 (rojo y azul) y depredadores Y1 en el tiempo (verde)');
hold off

GRÁFICA 6(RUNGE)

• 

	Presa X1	Presa X2	Depredador Y1
Máximo (millones)	29,8	0,4196	1,781
Tiempo (años)	482,1	7,8	484,4
Mínimo (millones)	1,351	3,82e04	0,09158
Tiempo (años)	489	500	496,9