Series de Fourier (Grupo CCE)
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Revisión del 08:10 19 feb 2026 de Coloma de Lara (Discusión | contribuciones) (→Estudio de Convergencia según el número de términos)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Series de Fourier. Grupo CCE |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2025-26 |
| Autores | Coloma de Lara
Carlos de Miguel Elena Rodríguez |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Visualizar la base trigométrica
Vamos a dibujar en una gráfica, con Matlab, los 7 primeros términos de la serie trigonométrica en [math] x\in [-1,1] [/math], para que sea más fácil visualizarla.
| Implementación en MATLAB | Resultado Gráfico |
|---|---|
% definimos intervalo [-T, T]
T = 1;
x = linspace(-T, T, 1000);
n_max = 7; %numero de terminos
% normalizamos
phi_0_factor = 1/sqrt(2*T);
phi_n_factor = 1/sqrt(T);
figure('Color', 'w');
% d0 y dn (Cosenos - Pares)
subplot(2,1,1); hold on;
plot(x, ones(size(x)) * phi_0_factor, 'k', 'LineWidth', 2.5, 'DisplayName', 'd_0');
colors_d = lines(n_max);
for n = 1:n_max
y_cos = phi_n_factor * cos(n * pi * x / T);
plot(x, y_cos, 'Color', [colors_d(n,:), 0.5]);
end
title('Funciones de la base para d_0 y d_n (Pares)');
grid on; ylabel('Amplitud');
% cn (Senos - Impares)
subplot(2,1,2); hold on;
colors_c = jet(n_max);
for n = 1:n_max
y_sin = phi_n_factor * sin(n * pi * x / T);
plot(x, y_sin, 'Color', [colors_c(n,:), 0.5]);
end
title('Funciones de la base para c_n (Impares)');
grid on; xlabel('x'); ylabel('Amplitud'); |
2 Aproximación de una función continua
En este apartado, aproximamos la función continua [math]f(x) = 1 - 2|1/2 - x|[/math] en el intervalo [math][0, 1][/math].
2.1 Estudio de Convergencia según el número de términos
Calculamos los coeficientes [math]a_k[/math] mediante la fórmula del trapecio con una división de [math]10^{-3}[/math]. Evaluamos el error en las normas [math]L^2[/math] y uniforme ([math]L^\infty[/math]) .
| Implementación en MATLAB | |
|---|---|
% Parámetros iniciales
dx = 1e-3; % división sugerida
x = 0:dx:1;
f = 1 - 2*abs(0.5 - x);
% Configuración de términos para visualización
valores_n = [1, 5, 10];
figure(1);
plot(x, f, 'k--', 'LineWidth', 2); hold on;
% Bucle para calcular aproximaciones y errores
N_max = 50;
err_L2 = zeros(1, N_max);
err_inf = zeros(1, N_max);
for n = 1:N_max
fn = zeros(size(x));
for k = 1:n
% Cálculo de ak mediante trapecio
integrando = 2 * f .* sin(k * pi * x);
ak = trapz(x, integrando);
% suma de los términos impares
fn = fn + ak * sin(k * pi * x);
end
% guardar errores en normas L2 y uniforme
err_L2(n) = sqrt(trapz(x, (f - fn).^2));
err_inf(n) = max(abs(f - fn));
if ismember(n, valores_n)
plot(x, fn, 'DisplayName', ['n = ' num2str(n)]);
end
end
title('Aproximación de f(x) por Serie de Fourier (Senos)');
xlabel('x'); ylabel('f(x)');
legend('Original', 'n=1', 'n=5', 'n=10');
grid on;
% gráfica de Errores
figure(2);
subplot(2,1,1);
plot(1:N_max, err_L2, 'bo-', 'LineWidth', 1.5);
title('Evolución del Error en Norma L^2');
xlabel('n (términos)'); ylabel('Error'); grid on;
subplot(2,1,2);
plot(1:N_max, err_inf, 'ro-', 'LineWidth', 1.5);
title('Evolución del Error en Norma Uniforme');
xlabel('n (términos)'); ylabel('Error'); grid on; | |
| Resultado de la Aproximación | Estudio de Convergencia |
2.2 Estudio de la Convergencia según la regularidad
| Implementación en MATLAB: Comparativa de Regularidad | ||
|---|---|---|
% Parámetros iniciales
dx = 1e-3;
x = 0:dx:1;
N = 20; % Número de armónicos para la comparativa
% Definición de las tres funciones
f1 = double(x < 0.5); % 1. Función Salto (C^-1)
f2 = 1 - 2*abs(0.5 - x); % 2. Función Triangular (C^0)
f3 = x.^2 - x; % 3. Parábola (C^inf)
funciones = {f1, f2, f3};
titulos = {'Aproximación Función Salto', 'Aproximación Función f(x)', 'Aproximación Parábola'};
for i = 1:3
f_actual = funciones{i};
figure(i);
plot(x, f_actual, 'k--', 'LineWidth', 2); hold on;
% Reconstrucción mediante Serie de Fourier (Base completa)
L = 1;
a0 = (2/L) * trapz(x, f_actual);
fn = (a0/2) * ones(size(x));
for k = 1:N
ak = (2/L) * trapz(x, f_actual .* cos(2*pi*k*x/L));
bk = (2/L) * trapz(x, f_actual .* sin(2*pi*k*x/L));
fn = fn + ak*cos(2*pi*k*x/L) + bk*sin(2*pi*k*x/L);
end
plot(x, fn, 'r', 'LineWidth', 1.5);
title(titulos{i});
xlabel('x'); ylabel('f(x)');
legend('Original', ['Serie Fourier (N=' num2str(N) ')']);
grid on;
end | ||
| 1. Función f(x) (Continua) | 2. Parábola (Suave) | 3. Función Salto (Discontinua) |
| Implementación en MATLAB | Resultado Gráfico |
|---|---|
dx = 1e-3;
x = 0:dx:1;
N_max = 50;
f1 = double(x < 0.5);
f2 = 1 - 2*abs(0.5 - x);
f3 = x.^2 - x;
funciones = {f1, f2, f3};
colores = {'b', 'r', 'g'};
nombres = {'Salto', 'Triangular f(x)', 'Parábola'};
figure(1);
hold on;
for i = 1:3
f_target = funciones{i};
err_L2 = zeros(1, N_max);
for n = 1:N_max
a0 = 2 * trapz(x, f_target);
fn = (a0/2) * ones(size(x));
for k = 1:n
ak = 2 * trapz(x, f_target .* cos(2*pi*k*x));
bk = 2 * trapz(x, f_target .* sin(2*pi*k*x));
fn = fn + ak*cos(2*pi*k*x) + bk*sin(2*pi*k*x);
end
% cálculo del error
err_L2(n) = sqrt(trapz(x, (f_target - fn).^2));
end
plot(1:N_max, err_L2, 'Color', colores{i}, 'LineWidth', 2, 'DisplayName', nombres{i});
end
set(gca, 'YScale', 'log'); % escala logarítmica para ver mejor las diferencias
title('Evolución del Error Residual (Norma L^2)');
xlabel('Número de terminos (N)'); ylabel('Error (log)');
legend('show'); grid on; |
| n | Función Salto | Función Triangular | Parábola x^2-x |
|---|---|---|---|
| 1 | 1.2732 | 0.8106 | -0.2580 |
| 3 | 0.4244 | -0.0901 | -0.0096 |
| 5 | 0.2546 | 0.0324 | -0.0021 |
| 7 | 0.1819 | -0.0165 | -0.0008 |
| 9 | 0.1415 | 0.0100 | -0.0004 |
| 11 | 0.1157 | -0.0067 | -0.0002 |
| 13 | 0.0979 | 0.0048 | -0.0001 |
| 15 | 0.0849 | -0.0036 | -0.0001 |
| Decaimiento | 1/n | 1/n² | 1/n³ |
