Series de Fourier CPP
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import trapezoid
def base_trigonometrica(n): #Puntos donde se grafica x = np.linspace(-1,1,1000) plt.figure(figsize = (10,6))
#Primer término de la serie plt.plot(x, np.full_like(x, 0.5), label='1/2 (n=0)', linewidth=2, color='black')
#Términos trigonométricos for n in range(1,n): plt.plot(x, np.cos(n*np.pi*x), color = 'r', linestyle='-') plt.plot(x, np.sin(n*np.pi*x), color = 'b', linestyle='-')
plt.title('Primeros términos de la base trigonométrica {1/2, cos(nπx), sin(nπx)}') plt.xlabel('x') plt.ylabel('f(x)') plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5) plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5) plt.grid(True, linestyle=':', alpha=0.6) plt.legend(['1/2','cos','sin'], loc = 'upper right', bbox_to_anchor = (1,1)) plt.tight_layout()
# Mostrar resultado plt.show()
def serie_fourier_definitiva(f,L,n):
#Puntos donde se grafica y sus valores exactos x = np.linspace(-L/2,L/2,1000) f_ev = f(x)
def serie_fourier(funcion,x_val,n_terms): fn = np.zeros_like(x_val) f_eval = funcion(x_val)
c0 = trapezoid(2/L * f_eval,x_val) fn = c0/2 for k in range(1,n_terms+1): #Coeficientes cn = trapezoid(2/L * f_eval * np.cos(2*k*np.pi*x_val/L),x_val) dn = trapezoid(2/L * f_eval * np.sin(2*k*np.pi*x_val/L),x_val)
#Sumar términos fn += cn* np.cos(2*k*np.pi*x_val/L) + dn * np.sin(2*k*np.pi*x_val/L)
return fn
#Gráfica plt.figure(figsize = (10,6)) plt.plot(x,f_ev,'k--', label='f(x) original', linewidth=2)
for i in n: fn_ev = serie_fourier(f,x,i) plt.plot(x,fn_ev, label=f'n = {i}')
plt.title('Aproximación de f(x) mediante serie de Fourier') plt.legend() plt.grid(True, alpha=0.3) plt.show()
#Cálculo de errores n_error = [] for i in range(1,100): n_error.append(i)
error_l2 = [] error_inf = []
for i in n_error: f_n = serie_fourier(f,x,i) dif = f_ev - f_n
error_l2.append(np.sqrt(trapezoid(dif**2,x))) error_inf.append(round(float(np.max(np.abs(dif))),6))
#Gráfica plt.figure(figsize = (10,6)) plt.plot(n_error,error_l2, linewidth=2) plt.title('Error $L^2$') plt.legend() plt.grid(True, alpha=0.3) plt.show()
def comparar_fourier_cesaro(func, L, n_terms, nombre_funcion="Función"):
"""
Calcula y grafica la aproximación de Fourier estándar vs Sumas de Cesàro.
func: Función original a aproximar.
L: Longitud del intervalo [-L/2, L/2].
n_terms: Número máximo de coeficientes (n).
"""
def get_coefficients(n):
# Integración por método del trapecio como se indica en el documento
x_int = np.linspace(-L/2, L/2, 2000)
y_int = func(x_int)
# Coeficiente c0
c0 = (2/L) * trapezoid(y_int, x_int)
an = []
bn = []
for i in range(1, n + 1):
cos_term = np.cos(2 * np.pi * i * x_int / L)
sin_term = np.sin(2 * np.pi * i * x_int / L)
an.append((2/L) * trapezoid(y_int * cos_term, x_int))
bn.append((2/L) * trapezoid(y_int * sin_term, x_int))
return c0, an, bn
# Obtener coeficientes
c0, an, bn = get_coefficients(n_terms)
# Construir sumas parciales S_k para Cesàro
x_range = np.linspace(-L/2,L/2,1000)
sumas_parciales = []
current_sum = np.full_like(x_range, c0 / 2)
sumas_parciales.append(current_sum.copy())
for i in range(n_terms):
term = an[i] * np.cos(2 * np.pi * (i+1) * x_range / L) + \
bn[i] * np.sin(2 * np.pi * (i+1) * x_range / L)
current_sum += term
sumas_parciales.append(current_sum.copy())
# Calcular Suma de Cesàro (Promedio de las sumas parciales)
sigma_n = np.mean(sumas_parciales, axis=0)
# Gráfica
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(x_range, func(x_range), 'k--', label=f"Original: {nombre_funcion}", alpha=0.6)
plt.plot(x_range, current_sum, label=f"Fourier Estándar (n={n_terms})", color='red', alpha=0.5)
plt.plot(x_range, sigma_n, label=f"Suma de Cesàro (n={n_terms})", color='blue', linewidth=2)
plt.title(f"Aproximación de {nombre_funcion}: Fourier vs Cesàro")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)
plt.show()
- Lo que se ejecuta---------------------------------------------------------
base_trigonometrica(6)
def f(x): lista = [] for i in x: if i < 0: lista.append(0) else: lista.append(1) return np.array(lista)
def MW(x): n = 200 a = 1/2 b = 13
suma = 0 for i in range(n): suma += a**i * np.cos(b**i * np.pi*x)
return suma
def g(x): return x**2
serie_fourier_definitiva(f,10,[1,5,10,100]) comparar_fourier_cesaro(f, 10, 50, "Función Discontinua (Escalón)") comparar_fourier_cesaro(MW, 10, 100, "Monstruo de Weierstrass")
