Series de Fourier (Grupo CCE)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Series de Fourier. Grupo CCE |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2025-26 |
| Autores | Coloma de Lara, Carlos de Miguel y Elena Rodríguez |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Introducción
Este trabajo tiene como objetivo principal profundizar en la aproximación de funciones por series trigonométricas, herramienta fundamental en el estudio de las Ecuaciones en Derivadas Parciales.En este artículo, se abordan tres puntos de los propuestos: primero visualizar la aproximación de la serie de Fourier de una función, segundo comparar la serie de Fourier de una función en términos de la regularidad, y tercero ilustrar el fenómeno de Gibbs al aproximar una función discontinua.
1.1 La Base Trigonométrica en [-T, T]
Para una función definida en un intervalo [math][-T, T][/math], utilizamos un conjunto de funciones que actúan como generadores del espacio. Esta familia de funciones es la denominada base trigonométrica normalizada:
[math] \mathcal{B} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2T}}, \frac{1}{\sqrt{T}}\cos\left(\frac{n\pi x}{T}\right), \frac{1}{\sqrt{T}}\sin\left(\frac{n\pi x}{T}\right) \right\}_{n \in \mathbb{N}} [/math]
Estas funciones son las piezas fundamentales para construir cualquier función periódica con la regularidad suficiente.
1.2 Definición de la Serie de Fourier
Dada una función [math]f(x)[/math] integrable en el intervalo [math][-T, T][/math], su desarrollo en Serie de Fourier se define como:
[math] f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{2T}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cdot \frac{1}{\sqrt{T}}\cos\left(\frac{n\pi x}{T}\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \cdot \frac{1}{\sqrt{T}}\sin\left(\frac{n\pi x}{T}\right) [/math]
Donde los coeficientes de Fourier se calculan mediante las siguientes proyecciones (integrales)[cite: 28, 29]:
- Coeficiente constante: [math] d_0 = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{2T}} dx [/math]
- Coeficientes de cosenos: [math] d_n = \frac{1}{\sqrt{T}} \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \cos\left(\frac{n\pi x}{T}\right) dx [/math]
- Coeficientes de senos: [math] c_n = \frac{1}{\sqrt{T}} \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \sin\left(\frac{n\pi x}{T}\right) dx [/math]
2 Visualizar la base trigométrica
Vamos a dibujar en una gráfica, con Matlab, los 10 primeros términos de la serie trigonométrica en [math] x\in [-1,1] [/math], para que sea más fácil visualizarla.
| Implementación en MATLAB | Resultado Gráfico |
|---|---|
% Parámetros del intervalo [-T, T]
T = 1;
x = linspace(-T, T, 1000);
n_max = 10;
% Factores de normalización de la base ortonormal
phi_0_factor = 1/sqrt(2*T);
phi_n_factor = 1/sqrt(T);
figure('Color', 'w');
% Subplot 1: Términos para d0 y dn (Cosenos - Pares)
subplot(2,1,1); hold on;
plot(x, ones(size(x)) * phi_0_factor, 'k', 'LineWidth', 2.5, 'DisplayName', 'd_0');
colors_d = lines(n_max);
for n = 1:n_max
y_cos = phi_n_factor * cos(n * pi * x / T);
plot(x, y_cos, 'Color', [colors_d(n,:), 0.5]);
end
title('Funciones de la base para d_0 y d_n (Pares)');
grid on; ylabel('Amplitud');
% Subplot 2: Términos para cn (Senos - Impares)
subplot(2,1,2); hold on;
colors_c = jet(n_max);
for n = 1:n_max
y_sin = phi_n_factor * sin(n * pi * x / T);
plot(x, y_sin, 'Color', [colors_c(n,:), 0.5]);
end
title('Funciones de la base para c_n (Impares)');
grid on; xlabel('x'); ylabel('Amplitud'); |
