Series de Fourier (Grupo CCE)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Series de Fourier. Grupo CCE |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2025-26 |
| Autores | Coloma de Lara, Carlos de Miguel y Elena Rodríguez |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Introducción
Este trabajo tiene como objetivo principal profundizar en la aproximación de funciones por series trigonométricas, herramienta fundamental en el estudio de las Ecuaciones en Derivadas Parciales.En este artículo, se abordan tres puntos de los propuestos: primero visualizar la aproximación de la serie de Fourier de una función, segundo comparar la serie de Fourier de una función en términos de la regularidad, y tercero ilustrar el fenómeno de Gibbs al aproximar una función discontinua.
1.1 La Base Trigonométrica en [-T, T]
Para una función definida en un intervalo [math][-T, T][/math], utilizamos un conjunto de funciones que actúan como generadores del espacio. Esta familia de funciones es la denominada base trigonométrica normalizada:
[math] \mathcal{B} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2T}}, \frac{1}{\sqrt{T}}\cos\left(\frac{n\pi x}{T}\right), \frac{1}{\sqrt{T}}\sin\left(\frac{n\pi x}{T}\right) \right\}_{n \in \mathbb{N}} [/math]
Estas funciones son las piezas fundamentales para construir cualquier función periódica con la regularidad suficiente.
1.2 Definición de la Serie de Fourier
Dada una función [math]f(x)[/math] integrable en el intervalo [math][-T, T][/math], su desarrollo en Serie de Fourier se define como:
[math] f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{2T}} + \sum_{n=1}^{\infty} d_n \cdot \frac{1}{\sqrt{T}}\cos\left(\frac{n\pi x}{T}\right) + \sum_{n=1}^{\infty} c_n \cdot \frac{1}{\sqrt{T}}\sin\left(\frac{n\pi x}{T}\right) [/math]
Donde los coeficientes de Fourier se calculan mediante las siguientes proyecciones (integrales)[cite: 28, 29]:
- Coeficiente constante: [math] d_0 = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{2T}} dx [/math]
- Coeficientes de cosenos: [math] d_n = \frac{1}{\sqrt{T}} \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \cos\left(\frac{n\pi x}{T}\right) dx [/math]
- Coeficientes de senos: [math] c_n = \frac{1}{\sqrt{T}} \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \sin\left(\frac{n\pi x}{T}\right) dx [/math]
