La Cicloide (Grupo 18)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La Cicloide (Grupo 18)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Alejandro Porrúa Perea Salvador Sánchez Burgos Natalia Andrés Jiménez Jaime Colomina López John Cuenca Uyaguari
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

La Cicloide se define como la curva trazada por un punto contenido en la circunferencia de un círculo que rueda sin deslizar sobre una línea recta. Aunque también se puede entender como el lugar geométrico descrito por las posiciones de un punto P que pertenece a la circunferencia de un círculo que rueda sin deslizamiento sobre una recta. Dicha recta recibe el nombre de directriz, mientras que la circunferencia recibe el nombre de generatriz o ruleta.

A pesar de su sencilla definición geométrica, esta curva tiene propiedades notables que le consiguen un lugar crucial en la física teórica, como en el estudio de los principios variacionales que cimentan la Teoría de Campos.Principalmente se conoce por la aplicación como solución al problema de la Braquistócrona (La curva de descenso más rápido entre dos puntos) y al problema de la Tautócrona (la curva en que el tiempo de descenso a un punto inferior es independiente de la posición inicial), estableciendo una relación directa con el formalismo de Lagrange y Hamilton.

La Cicloide se puede representar algebraicamente mediante la siguiente parametrización en coordenadas cartesianas: [math]𝛾(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) = (𝑅(𝑡 − sin 𝑡), 𝑅(1 − cos𝑡)), 𝑡 ∈ (0, 2𝜋)[/math]. Donde R es el radio del círculo y t es el ángulo de desplazamiento angular.

2 Dibujo de la curva

Para este estudio se toma como origen una circunferencia de radio [math]R = 3[/math]

%Radio de la circunferencia
R=3;

%Valores entre los que se encuentra (t)
t=linspace(0,2*pi);

%Parametrización en coordenadas cartesianas
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));

%Representación de la Cicloide
figure
hold on
plot(x,y, 'r', 'LineWidth',2);
title('Cicloide de R=3');
grid on
xlabel('$x(t) = 3(t - \sin t)$', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('$y(t) = 3(1 - \cos t)$', 'Interpreter', 'latex');

%Tamaño del recuadro en el que estará representada la curva
axis([-1,max(x)+1,0,max(y)+1])
axis equal
hold off

3 Cálculo de los vectores velocidad 𝛾 ′ (𝑡) y aceleración 𝛾 ″ (𝑡), y dibujo junto a la curva.

% 1. Parámetros de entrada
R = 3;
% 2. Cálculo de la trayectoria (Para dibujar la curva completa)
% Vector de tiempos 't' con varios puntos
t = linspace(0, 2*pi,200);
% Fórmulas directas de la Cicloide
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));
% 3. Cálculo de vectores en puntos específicos (Seleccionamos menos puntos para no saturar el dibujo con flechas, por ejemplo, cada pi/4 radianes)
t_vec = linspace(0,2*pi,15)
% Posición de los vectores (origen de las flechas)
x_vec = R * (t_vec - sin(t_vec));
y_vec = R * (1 - cos(t_vec));
% Velocidad v(t) = r'(t) (Fórmula derivada a mano)
vx = R * (1 - cos(t_vec));
vy = R * sin(t_vec);
% Aceleración a(t) = v'(t) (Fórmula derivada a mano)
ax = R * sin(t_vec);
ay = R * cos(t_vec);
% 4. Representación gráfica
figure('Name','La Cicloide', 'Color', 'w');
hold on; axis equal; grid on;
xlabel('$x(t) = 3(t - \sin t)$', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('$y(t) = 3(1 - \cos t)$', 'Interpreter', 'latex');
title('Cinemática de la Cicloide para R = 3',['r' ...'']);
% Dibujo de la trayectoria de la curva
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Trayectoria');
% Dibujo de los vectores velocidad (Azul) y aceleración (Rojo)
quiver(x_vec, y_vec, vx, vy, 0.5, 'm', 'LineWidth',  0.5, 'maxheadsize',0.1, 'DisplayName', 'Velocidad');
quiver(x_vec, y_vec, ax, ay, 0.5, 'c', 'LineWidth', 0.5, 'maxheadsize',0.1,'DisplayName', 'Aceleración');
% Detalles finales para ajustar la gráfica y leyenda
legend('Location', 'best');
xlim([0, R*2*pi + 1]);
ylim([0, 2*R + 2]);
hold off;