Circuitos Eléctricos RL (18B)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Circuitos eléctricos R-L (Grupo 18) |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2013-14 |
| Autores | • Arantxa Abascal Colomar • Patricia Fernández Aibar • Paula Lacanal Cuadrado • David Ortiz Liriano • Álvaro Pintor Sousa • Alberto Rodríguez Fernández |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Introducción
El circuito eléctrico RL más simple se compone de de una resistencia [math]R[/math], un inductor o bobina [math]L[/math] y una fuente de alimentación.
- En una resistencia [math]R[/math], la Ley de Ohm establece que:
[math]i(t)={v(t)\over R}[/math] siendo [math]i(t)[/math] la intensidad de corriente en amperios ([math]A[/math]), [math]v(t)[/math] el voltaje en voltios ([math]V[/math]) y [math]R[/math] el coeficiente de resistencia en ohmios ([math]Ω[/math]).
- En un inductor [math]L[/math], la Ley de Faraday indica que:
[math]v(t)=L {d\over dt} i(t)[/math] donde [math]L[/math] es el coeficiente de autoinducción en henrios ([math]H[/math]).
Por otro lado, las leyes de Kirchoff establecen el comportamiento de los circuitos:
- Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.
- Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado o malla, la suma de diferencias de potencial es nula.
2 Ley de Kirchoff de voltaje o tensiones
En el momento en el que tenemos un circuito resistencia-inductancia (RL) cerrado (como se indica en la figura de la derecha), la ecuación diferencial, obtenida mediante la ley de Kirchoff de voltaje o tensiones, es la que sigue: [math]{d\over dt}i(t)+{R\over L}i(t)-{V(t)\over L}=0 [/math]
Suponiendo la condición inicial de que en [math]t=0[/math] el circuito pasa de estar abierto a cerrado (lo cual significa que pasa de estar inactivo a tener una corriente circulante) o, lo que es lo mismo, que [math]i(0)=0[/math]; junto con las condiciones de voltaje [math]E(t)=20V[/math], inductancia [math]L=0.2H[/math] y resistencia [math]R=5Ω[/math], el cálculo analítico de la intensidad para [math]t\gt0[/math] quedará de la siguiente manera resuelto, mediante un problema de valor inicial o de Cauchy: [math]\left\{\begin{matrix}\ i'(t)+{25}i(t)-{100}=0 \\i(0)=0\end{matrix}\right.[/math]
La resolución de éste mediante [math]i \cdot e^{\int{\frac{R}{L}dt}} = \int{e^{\frac{R \cdot t}{L}}dt} \hspace{0.5cm} \rightarrow \hspace{0.5cm} [/math]
[math]i \cdot e^{\frac{R \cdot t}{L}} = \frac{V}{R}e^{\frac{R \cdot t}{L}}+C[/math]
nos da:
[math] i(t)=4-4e^{-25t} [/math]
La gráfica de la función nos muestra la evolución de la intensidad. En ella se puede apreciar una rápida subida en los primeros instantes que se ralentiza hasta llegar a ser prácticamente constante con un valor de 4. Por lo que podemos afirmar que la intensidad se estabiliza en un corto periodo de tiempo.
fplot('4-4*exp(-25*t)',[0,0.5,0,5]);
xlabel('Tiempo')
ylabel('Intensidad(t)')3 Método de Euler
t0=0;
tN=0.5;
y0=0;
N=100;
h=(tN-t0)/100;
yy=y0;
y(1)=yy;
for n=1:N;
yy=yy+h*(50-25*yy);
y(n+1)=yy;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,y,'-g','linewidth',3);
xlabel('Tiempo');
ylabel('Intensidad');- El paso de discretización temporal para que el método sea estable ha de ser pequeño, por estar usando un método explícito para aproximar una función exponencial de elevada pendiente.En este caso lo hemos elegido del orden de h=1/100.
4 Método del trapecio
t0=0;
tN=0.5;
y0=0;
N=50;
h=(tN-t0)/N;
yy=y0;
y(1)=yy;
for n=1:N;
yy=(yy+h*(50-12.5*yy))/(1+12.5*h);
y(n+1)=yy;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,y,'-r','linewidth',3);
xlabel('Tiempo');
ylabel('Intensidad');
Observamos que usando el método del trapecio, podemos coger un paso mayor (del orden de 1/50 por ejemplo) y obtener igualmente una buena aproximación.Esto es asi por ser el método del trapecio un método implícito.
5 Euler con condiciones iniciales distintas
En el caso anterior analizábamos la variación de intensidad en la malla al conectar el circuito al generador (para el instante inicial i(0)=0). Ahora tenemos un circuito por el que circula una corriente de 2A y desconectamos el generador del circuito, entonces la intensidad disminuirá progresivamente en el tiempo siguiendo una ley exponencial.
t0=0;
tN=0.5;
y0=2;
N=500;
h=(tN-t0)/500;
yy=y0;
y(1)=yy;
for n=1:N;
yy=yy+h*(-25*yy);
y(n+1)=yy;
end
x=t0:h:tN;
plot(x,y,'-r','linewidth',3);
xlabel('Tiempo');
ylabel('Intensidad');
6 Interpretación en términos de las leyes de Kirchoff
Éste es el sistema de ecuaciones diferenciales corresponde al circuito de la figura: \[ E(t)=R_1i_1(t)+L_2\frac{\partial }{\partial t}i_2(t)+R_2i_2(t)\]\[ E(t)=R_1i_1(t)+L_1\frac{\partial }{\partial t}i_3(t)+R_3i_3(t)\]\[ i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)\] Como vemos se cumplen las leyes de Kirchoff que dicen:
·En cada malla, la suma de las tensiones es igual a la tensión total que se suministra al circuito.
·La intensidad que entra en un nodo es igual a la suma de las intensidades que salen de él.
Vemos que en la primera ecuación, la tensión total esta igualada a la tensión de la malla grande, formada por R1,L2 y R2. A su vez la tensión total también está igualada a la malla pequeña formada por R1,L1 y R3. La tercera ecuacion se refiere a la segunda ley de Kirchoff que dice que la intensidad que entra en un nodo es igual a la suma de las intensidades que salen de él.
Escribiendo el sistema anterior en términos de \(i_2 (t)\) y de \(i_3 (t)\) el sistema nos queda de la forma: \[ E(t)=R_1i_2(t)+R_1i_3 (t)+L_2\frac{\partial}{\partial t}i_2(t)+R_2i_2(t)\]\[ E(t)=R_1i_2(t)+R_1i_3(t)+L_1\frac{\partial }{\partial t}i_3(t)+R_3i_3(t)\]
Para unas condiciones iniciales de \(i_2 (0)\)=\(i_3 (0)\)=\(0\), las intensidades que salen del nodo son iguales a cero, con lo cual la intensidad que entra en dicho nodo, que será la intensidad total en el circuito, dará cero también. Esto significa que no entra corriente en el circuito, lo que afecta a las tensiones. Tensiones = 0 por lo que la tensión total es igual a 0.
7 Resolución del sistema con datos
Resolvemos el sistema de ecuaciones anterior con los datos \(R_1 = R_2 = 6, R_3 = 3, L_1 = 0,3H, L_2 = 0,11H\) y la fuente de alimentación \(E(t) = 20V\).
Vamos a resolverlo utilizando el método de Euler explícito y el método implícito del trapecio. El intervalo de tiempo considerado paqra el estuido es de [0, 0.4].
7.1 Método de Euler
%Introducimos los datos del sistema de ecuaciones diferenciales
E=20;
R1=6;
R2=6;
R3=3;
L1=0.3;
L2=0.11;
%Introducimos el intervalo de tiempo en el que vamos a evaluar nuestra ecuación
t0=0; tN=0.4;
%Creamos un vector columna que tendrá como datos la intensidad en el instante inicial
i0=[0 0]';
%Dividimos nuestro intervalo de tiempo en N subintervalos separados un paso h
N=10000; h=(tN-t0)/N;
%Reescribimos el sistema en forma matricial
X=[-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -(R1+R3)/L1];
Y=[20/L2 20/L1]';
i=i0;
i2(1)=i(1);
i3(1)=i(2);
%creamos un bucle para el calculo de las intensidades a lo largo del tiempo
%definido
for n=1:N
i=i+h*((X*i)+Y);
i2(n+1)=i(1);
i3(n+1)=i(2);
end
%creamos el vector de abcisas
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i2,'b')
subplot(3,1,2)
plot(x,i3,'g')
subplot(3,1,3)
hold on
plot(x,i2,'b')
plot(x,i3,'g')
plot(x,i1,'r')
hold off
legend('i2', 'i3', 'i1');
Podemos observar que a partir de t=0.15 tienden a estabilizarse.
7.2 Método del trapecio
E=20;
R1=6;
R2=6;
R3=3;
L1=0.3;
L2=0.11;
t0=0; tN=0.4;
i0=[0 0]';
N=10000; h=(tN-t0)/N;
X=[-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -(R1+R3)/L1];
Y=[20/L2 20/L1]';
i=i0;
i2(1)=i(1);
i3(1)=i(2);
for n=1:N
i=inv(eye(2)-(h/2)*X)*((eye(2)+(h/2)*A)*i+h*Y);
i2(n+1)=i(1);
i3(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(3,1,1)
plot(x,i2,'b')
subplot(3,1,2)
plot(x,i3,'g')
subplot(3,1,3)
hold on
plot(x,i2,'b')
plot(x,i3,'g')
plot(x,i1,'r')
hold off
legend('i2', 'i3', 'i1');
8 Modificación del circuito RL
Para el circuito de la figura, el sistema obtenido aplicando las leyes de kirchhoff es el siguiente:
[math] E(t)=R_1i_1(t)+L_2i'_2(t)+R_2i_2(t)[/math]:
[math] E(t)=R_1i_1(t)+L_1i'_3(t)+R_3i_3(t)[/math]:
[math] i_1(t)=i_2(t)+i_3(t)[/math]
Vamos a resolverlo de nuevo para un valor de $R_{3}$ = 9Ω y posteriormente se comentaran los resultados comparándolos con los del circuito anterior. Sustituimos los valores $R_{1}$ = 6Ω, $R_{2}$ = 6Ω, $R_{3}$ = 9Ω, $L_{1}$ = 0,3H, $L_{2}$= 0,11H y $E(t)$ = 20V,
8.1 Sistema de ecuaciones: Euler
E1=20;
R1=6;
R2=6;
R3=9;
L1= 0.3;
L2 = 0.11;
t0=0;
tN=0.4;
N=10000;
h=(tN-t0)/N;
i0 = [0 0]';
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -(R1+R3)/L1];
B=[E1/L2 E1/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(2,1,1)
plot(x,i1,'.;i1(t);r',x,i2,'.;i2(t);b')
xlabel('Tiempo');
ylabel('Intensidad');
subplot(2,1,2)
plot(x,i1,'.;i1(t);r',x,i2,'.;i2(t);b',x,i3,'.;i3(t);g')
xlabel('Tiempo');
ylabel('Intensidad');
8.2 Sistema de Ecuaciones. Método del trapecio
E1=20;
R1=6;
R2=6;
R3=9;
L1= 0.3;
L2 = 0.11;
t0=0;
tN=0.4;
N=10000;
h=(tN-t0)/N;
i0 = [0 0]';
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -(R1+R3)/L1];
B=[E1/L2 E1/L1]';
C=[1 0;0 1];
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=inv(C-(h*A)/2)*((C+(h*A)/2)*i+h*B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
subplot(2,1,1)
plot(x,i1,'.;i1(t);r',x,i2,'.;i2(t);b')
xlabel('Tiempo');
ylabel('Intensidad');
subplot(2,1,2)
plot(x,i1,'.;i1(t);r',x,i2,'.;i2(t);b',x,i3,'.;i3(t);g')
xlabel('Tiempo');
ylabel('Intensidad')
print('-dpng','trapecio6.png')
8.3 Conclusiones sobre las modificaciones del circuito
Si comparamos la gráficas para diferentes valores de la resistencia R3 podemos observar:
- La intensidad i1 que recorre el circuito disminuye según la ley proporcional de ohm.
- El valor de i3 crece mas rápidamente aumentando R3 estabilizándose rápidamente
- La intensidad i2 aumenta mas despacio.
9 Valores iniciales de las intensidades
E1=20;
R1=6;
R2=6;
R3=9;
L1= 0.3;
L2 =0.11;
t0=0;
tN=-0.02;
%Se considera tN negativo como artificio de cálculo
N=10000;
h=(tN-t0)/N;
i0 = [0 0]';
A= [-(R1+R2)/L2 -R1/L2;-R1/L1 -(R1+R3)/L1];
B=[E1/L2 E1/L1]';
i=i0;
i3(1)=i(1);
i2(1)=i(2);
for n=1:N
i=i+h*((A*i)+B);
i3(n+1)=i(1);
i2(n+1)=i(2);
end
x=t0:h:tN;
i1=i2+i3;
i33=1-i3;
i22=1-i2;
i11=i22+i33;
plot(x,i11,'.;i1(t);r',x,i22,'.;i2(t);b',x,i33,'.;i3(t);g')
xlabel('Tiempo');
ylabel('Intensidad');
print('-dpng','trapecio6.png')
Observando la evolución de las intensidades a un tiempo tan pequeño, comprobamos la gran variación inicial que éstas sufren. Esto es debido al carácter exponencial de la función intensidad.
