El vórtice de Rankine (g.34)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	El Vórtice de Rankine (Grupo 34)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Miguel Gómez-Hidalgo Rivas Haytam Imhah Chatoual Darío Pérez Pablo Ramírez Serrano Jorge Machín Menés
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

El Vórtice de Rankine es un modelo matemático, ideado por William John Macquorn Rankine, ingeniero y físico escocés. Su diseño estuvo sujeto a la imperiosa necesidad de explicar de manera simplificada los fluidos rotatorios. Este modelo, aplicado a la vida cotidiana permite la descripción de la estructura básica de fenómenos meteorológicos como tornados y huracanes o en ciertos casos puede explicar ciertos aspectos de la ingeniería como la aerodinámica, ayudando a la creación de sistemas como las turbinas o ventiladores. En este trabajo, haremos algunos cálculos interesantes para la comprensión de este modelo. Además, utilizaremos códigos de Matlab para la representación de funciones y campos vectoriales de manera gráfica.

2 Circulación

Dada la función que representa la velocidad del vórtice [math]v_\theta(\rho) = \begin{cases} \dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm] \dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho \gt R \end{cases} [/math], para la situación [math]\rho = \text{R}[/math], tenemos la expresión [math]v_{\theta} = \frac{\Gamma}{2\pi R^{2}}\, \rho \;=\; \frac{\Gamma}{2\pi R} [/math]. Según los datos que nos proporcionan [math](R=250 m; v_{\theta}= 90 m/s )[/math], nos daría un resultado de: [math]\Gamma = 1.4137 \times 10^{5} \ \mathrm{m^2/s} [/math]

Función circulación

%% Parámetros del vórtice de Rankine
R = 250;           % Radio del núcleo (m)
vR = 90;           % Velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % Circulación total

%% Dominio radial
rho = 0:1:1000;    % Distancia radial desde 0 a 1000 m

%% Campo de velocidad tangencial según Rankine
vtheta = zeros(size(rho));

% Región interna: rotación de cuerpo sólido (v ∝ ρ)
inside = (rho <= R);
vtheta(inside) = (Gamma/(2*pi*R^2)) * rho(inside);

% Región externa: flujo irrotacional (v ∝ 1/ρ)
outside = (rho > R);
vtheta(outside) = Gamma ./ (2*pi*rho(outside));

% Valor especial en ρ = 0
vtheta(1) = 0;  % Velocidad nula en el centro

%% Gráfica del perfil de velocidad
figure('Color', 'w', 'Position', [200 200 700 450]);

% Perfil de velocidad
plot(rho, vtheta, 'b-', 'linewidth', 2);
hold on

% Línea vertical en R
xline(R, '-k', 'linewidth', 1.25);

% Marcador en el punto (R, vR)
plot(R, vR, 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r', 'Markersize', 8, ...
    'DisplayName', sprintf('(R, v_R) = (%d m, %d m/s)', R, vR));

%% Etiquetas y estilo
xlabel('\rho (m)', 'FontSize', 12);
ylabel('v_\theta(\rho) (m/s)', 'FontSize', 12);
title(sprintf('Vórtice de Rankine - R = %d m, v_\\theta(R) = %d m/s, \\Gamma = %.2e m²/s', ...
    R, vR, Gamma), 'FontSize', 12);

% Leyenda
legend('v_\theta(\rho)', '\rho = R', sprintf('(R, v_R) = (%d, %d)', R, vR), ...
    'Location', 'NorthEast');

% Configuración de ejes
grid on
xlim([0 1000]);
ylim([0 max(vtheta)*1.15]);

% Línea horizontal en vR para referencia
yline(vR, '--', 'Color', [0.5 0.5 0.5], 'LineWidth', 0.8, ...
    'DisplayName', sprintf('v_R = %d m/s', vR));
legend('show');

% Anotación para indicar el cambio de comportamiento
text(R + 40, vR*0.7, sprintf('R = %d m', R), 'FontSize', 10, 'Color', 'k', ...
    'BackgroundColor', [1 1 0.8]);

% Líneas adicionales para marcar regiones
plot([0 R], [vR vR], 'r:', 'LineWidth', 0.5);

%% Información en consola
fprintf('\n=== VÓRTICE DE RANKINE ===\n');
fprintf('Radio del núcleo: R = %.0f m\n', R);
fprintf('Velocidad en R: v_R = %.0f m/s\n', vR);
fprintf('Circulación: Γ = %.4e m²/s\n', Gamma);
fprintf('Velocidad máxima: v_max = %.2f m/s (en ρ = R)\n', vR);
fprintf('\nComportamiento:\n');
fprintf('- Interior (ρ ≤ R): v_θ ∝ ρ\n');
fprintf('- Exterior (ρ > R): v_θ ∝ 1/ρ\n');

%% Cálculos adicionales (opcional)
% Puntos específicos para referencia
fprintf('\nValores en puntos clave:\n');
fprintf('ρ = 0 m:    v_θ = %.2f m/s\n', vtheta(1));
fprintf('ρ = R/2 = %d m: v_θ = %.2f m/s\n', R/2, vtheta(R/2 + 1));
fprintf('ρ = R = %d m:   v_θ = %.2f m/s (máximo)\n', R, vtheta(R + 1));
fprintf('ρ = 2R = %d m:  v_θ = %.2f m/s\n', 2*R, vtheta(2*R + 1));

3 Representación de [math]\vec{v}[/math]

Como podemos observar por la expresión del campo de la velocidad, [math]\mathbf{v} = v_\theta(\rho) \, \mathbf{e}_\theta[/math], la velocidad depende de la coordenada radial y no de [math]z[/math]. Además en la ecuación principal de la velocidad, que recordemos:[math]v_\theta(\rho) =\begin{cases} \dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, \rho & \text{si } \rho \le R \\[2mm]\dfrac{\Gamma}{2 \pi \rho} & \text{si } \rho \gt R\end{cases}[/math] , se puede apreciar cómo en sí misma no se puede apreciar ninguna [math]z[/math]. Es por ello que el campo vectorial de v es estrictamente horizontal, y está “conviviendo” en un plano bidimensional. Además al no tener la z, la estructura del campo vectorial es la misma a cualquier altura z.