Mallado Arco 1 (grupo 59)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Arco1. Grupo 59 |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2025-26 |
| Autores |
|
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Mallado del arco
El mallado de un arco consiste en dividir su superficie en puntos organizados, lo que permite describir su geometría y analizar cómo cambian diferentes magnitudes dentro de él.
1.1 Representación del mallado
% Mallado del arco alineado
% Elegimos divisiones que garanticen que:
% θ = 0, pi/2, pi están incluidos
% r incluye exactamente 1 y 2
theta = linspace(0, pi, 20); % mallado moderado, incluye 0, pi/2 y pi
r = linspace(1, 2, 15); % radios exactos 1 y 2
[R, TH] = meshgrid(r, theta);
% Convertir a coordenadas cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
figure;
hold on;
col = [0.3 0.6 1]; % azul clarito
% Mallado tipo red (más grueso)
plot(X, Y, 'Color', col, 'LineWidth', 1.1); % líneas en theta
plot(X', Y', 'Color', col, 'LineWidth', 1.1); % líneas en r
% Contornos superior interior y exterior
theta_cont = linspace(0, pi, 400);
plot(1*cos(theta_cont), 1*sin(theta_cont), 'Color', col, 'LineWidth', 2);
plot(2*cos(theta_cont), 2*sin(theta_cont), 'Color', col, 'LineWidth', 2);
% Bases
plot([-1 -2], [0 0], 'Color', col, 'LineWidth', 2); % base izquierda
plot([ 1 2], [0 0], 'Color', col, 'LineWidth', 2); % base derecha
% Ajustes
axis equal
grid on
title('Mallado del arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
hold off;
2 Temperatura en el arco
La temperatura del sólido proviene de un foco de calor muy concentrado en los puntos que están a distancia 1 del origen. La función es: 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦)2
2.1 Código
% Mallado del arco
theta = linspace(0, pi, 200); % más denso para curva suave
r = linspace(1, 2, 200); % radio interior 1, exterior 2
[R, TH] = meshgrid(r, theta);
% Convertir a cartesianas
X = R .* cos(TH);
Y = R .* sin(TH);
% Funcion temperatura
T = (X - Y).^2;
% Representación 2D
figure;
pcolor(X, Y, T); % representación 2D en colores
shading interp % suavizado del color
colormap(jet)
colorbar;
title('Temperatura T(x,y) = (x - y)^2 sobre el arco')
xlabel('x')
ylabel('y')
axis equal % mantiene proporciones reales
hold on
%% Contorno negro del arco
theta_cont = linspace(0, pi, 400);
% Borde interior
plot(1*cos(theta_cont), 1*sin(theta_cont), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Borde exterior
plot(2*cos(theta_cont), 2*sin(theta_cont), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Radio izquierdo
plot([1 2]*cos(0), [1 2]*sin(0), 'k-', 'LineWidth', 1);
% Radio derecho
plot([1 2]*cos(pi), [1 2]*sin(pi), 'k-', 'LineWidth', 1);
hold off
3 Gradiente de temperatura
3.1 Cálculo del gradiente
El gradiente de una función escalar (∇f) es un campo vectorial cuyas componentes son las derivadas parciales de la función. Geométricamente, el vector gradiente apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función y es ortogonal a sus curvas de nivel.
La fórmula para calcularlo es:
∇f(x,y) = ( ∂f/∂x , ∂f/∂y )
Como la temperatura viene dada por la siguiente fórmula:
T(x, y) = (x - y)²
El gradiente de temperatura será:
∇T = (2(x - y), -2(x - y))
3.2 Representación gráfica del gradiente
%% Representación del gradiente
clc; clear; close all;
% Dominio
rho_min = 1; rho_max = 2;
th_min = 0; th_max = pi;
[Rho, Theta] = meshgrid(linspace(rho_min, rho_max, 100), ...
linspace(th_min, th_max, 200));
% Convertimos a Cartesianas
X = Rho .* cos(Theta);
Y = Rho .* sin(Theta);
%% 2. Definición de Temperatura y Gradiente
% Temperatura T = (x - y)^2
T_val = (X - Y).^2;
% Cálculo del gradiente
Grad_X = 2 .* (X - Y);
Grad_Y = -2 .* (X - Y);
% Representación gráfica
figure('Name', 'Trabajo M - Pregunta 3 (Estilo Suave)', 'Color', 'w');
hold on;
contourf(X, Y, T_val, 50, 'LineStyle', 'none');
% Creamos la gráfica
N = 256;
r = linspace(0.2, 1, N)';
g = linspace(0.5, 1, N)';
b = linspace(1, 0, N)';
mi_mapa = [r, g, b]; % Matriz de colores
colormap(mi_mapa);
c = colorbar;
c.Label.String = 'Temperatura T = (x-y)^2';
% Cantida de flechas
step_r = 8; % Salta cada 8 puntos en el radio
step_t = 12; % Salta cada 12 puntos en el ángulo
idx_r = 1:step_r:size(X,1);
idx_t = 1:step_t:size(X,2);
% Dibujo flechas
quiver(X(idx_r, idx_t), Y(idx_r, idx_t), ...
Grad_X(idx_r, idx_t), Grad_Y(idx_r, idx_t), ...
'k', ... % Color negro flechas
'LineWidth', 1.0, ... % Grosor flechas
'AutoScaleFactor', 0.8); % Tamaño flechas
axis equal;
xlim([-2.5 2.5]); ylim([0 2.5]); % Márgenes
title('Gradiente sobre T');
xlabel('x'); ylabel('y');
box on;
hold off;
4 Dibujo del sólido antes y después del desplazamiento
4.1 Código
%% Visualización de Deformación (Azul vs Rojo)
clear; clc; close all;
% --- 1. DATOS Y CÁLCULOS ---
rho_vec = 1:0.1:2;
% EL CAMBIO ESTÁ AQUÍ:
theta_vec = [0:0.1:pi, pi];
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Posición Inicial
X_ini = R .* cos(Th);
Y_ini = R .* sin(Th);
% Desplazamiento u (Trabajo M)
u_rho = zeros(size(R));
u_theta = (1/5) * (R - 1) .* (R.^2) .* sin(Th);
UX = u_rho .* cos(Th) - u_theta .* sin(Th);
UY = u_rho .* sin(Th) + u_theta .* cos(Th);
% Posición Final
X_fin = X_ini + UX;
Y_fin = Y_ini + UY;
% --- GENERACIÓN DE LAS GRÁFICAS ---
% GRÁFICA 1: Posición Inicial
figure(1); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); title('1. Posición Inicial (Sin deformar)');
xlabel('x'); ylabel('y');
plot(X_ini, Y_ini, 'b', 'LineWidth', 1);
plot(X_ini', Y_ini', 'b', 'LineWidth', 1);
plot_borde(rho_vec, theta_vec, 'k', 2);
axis([-2.5 2.5 0 2.5]); grid on;
% GRÁFICA 2: Posición Final
figure(2); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); title('2. Posición Final (Deformada)');
xlabel('x'); ylabel('y');
plot(X_fin, Y_fin, 'r', 'LineWidth', 1);
plot(X_fin', Y_fin', 'r', 'LineWidth', 1);
axis([-2.5 2.5 0 2.5]); grid on;
% GRÁFICA 3: Superposición (AZUL vs ROJO)
figure(3); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w'); title('3. Comparativa: Inicial vs Final');
xlabel('x'); ylabel('y');
% A) Inicial: AZUL
plot(X_ini, Y_ini, 'b', 'LineWidth', 1);
plot(X_ini', Y_ini', 'b', 'LineWidth', 1);
% B) Final: ROJO
plot(X_fin, Y_fin, 'r', 'LineWidth', 1.2);
plot(X_fin', Y_fin', 'r', 'LineWidth', 1.2);
% --- Función para bordes ---
function plot_borde(r_v, t_v, col, ancho)
plot(r_v(end)*cos(t_v), r_v(end)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
plot(r_v(1)*cos(t_v), r_v(1)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho);
plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(1)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(1)), col, 'LineWidth', ancho);
plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(end)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(end)), col, 'LineWidth', ancho);
end5 Divergencia
6.1 Definición de la divergencia La divergencia de un campo vectorial [math]\nabla \cdot \vec{u}[/math] en un punto dado es una medida de la tasa a la que el flujo del campo se está expandiendo (saliendo) o contrayendo (entrando) en ese punto.
Es un valor escalar que te dice qué tan fuerte es una fuente o un sumidero de flujo en ese lugar. Para calcular la divergencia en coordenadas cilíndricas se utiliza la siguiente fórmula:
[math]\nabla \cdot \vec{U} = \frac{1}{\rho}\left[ \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho U_{\rho}) + \frac{\partial U_{\theta}}{\partial \theta} + \frac{\partial}{\partial z}(\rho U_{z}) \right][/math]
Reemplazando los valores del campo en las posiciones de U, obtenemos la siguiente expresión:
[math]\nabla \cdot \vec{U} = \frac{1}{\rho}\left[ \frac{\partial}{\partial \rho}(0) + \frac{\partial}{\partial \theta}\!\left(\frac{1}{5}(\rho - 1)\rho^{2}\sin\theta\right) + \frac{\partial}{\partial z}(0) \right][/math]
El resultado final de la divergencia es el siguiente:
[math]\nabla \cdot \vec{U} = \frac{1}{5}(\rho - 1)\,\rho\,\cos\theta[/math]
6.2 Código y representación
%% DIVERGENCIA
clear; clc; close all;
% 1. Geometría rho_vec = 1:0.05:2; theta_vec = [0:0.05:pi, pi]; [R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
% Paso a cartesianas solo para pintar (X, Y) X = R .* cos(Th); Y = R .* sin(Th);
% 2. Cálculo de la Divergencia % Fórmula: (1/5) * (rho^2 - rho) * cos(theta) Div = (1/5) * (R.^2 - R) .* cos(Th);
% 3. Visualización figure(7); clf; hold on; axis equal; set(gcf, 'Color', 'w'); title('Divergencia: Expansión y Compresión'); xlabel('x'); ylabel('y');
% mapa de colores [C, h] = contourf(X, Y, Div, 30, 'LineStyle', 'none');
% Barra de color cb = colorbar; ylabel(cb, 'Cambio de Volumen');
% borde negro plot_borde(rho_vec, theta_vec, 'k', 2);
% Definimos un mapa de colores "Divergente" (Rojo-Azul) %Azul para compresión, Rojo para expansión colormap(jet);
axis([-2.5 2.5 0 2.5]); grid off;
% --- Función Borde --- function plot_borde(r_v, t_v, col, ancho)
plot(r_v(end)*cos(t_v), r_v(end)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho); plot(r_v(1)*cos(t_v), r_v(1)*sin(t_v), col, 'LineWidth', ancho); plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(1)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(1)), col, 'LineWidth', ancho); plot([r_v(1) r_v(end)]*cos(t_v(end)), [r_v(1) r_v(end)]*sin(t_v(end)), col, 'LineWidth', ancho);
end
}}
6 Tensiones tangenciales
%% TENSIONES TANGENCIALES
clear; clc; close all;
% --- 1. GEOMETRÍA ---
rho_vec = 1:0.01:2;
theta_vec = 0:0.01:pi;
[R, Th] = meshgrid(rho_vec, theta_vec);
X = R .* cos(Th);
Y = R .* sin(Th);
% --- 2. CÁLCULO DE LA TENSIÓN ---
Tau = (1/5) * (2*R.^2 - R) .* sin(Th);
Tau_Mag = abs(Tau);
% --- 3. VISUALIZACIÓN ---
figure(9); clf; hold on; axis equal;
set(gcf, 'Color', 'w');
title('Tensión tangencial');
xlabel('x'); ylabel('y');
contourf(X, Y, Tau_Mag, 50, 'LineStyle', 'none');
c = colorbar;
ylabel(c,'Esfuerzo de Corte (Pa)');
% --- 4. Colormap amplio AZUL → ROJO (256 tonos) ---
n = 256;
azul = [0 0 1]; % azul puro
rojo = [1 0 0]; % rojo puro
cmap = [linspace(azul(1), rojo(1), n)', ...
linspace(azul(2), rojo(2), n)', ...
linspace(azul(3), rojo(3), n)'];
colormap(cmap);
% --- 5. Bordes exteriores en negro ---
t_border = 0:0.001:pi;
plot(2*cos(t_border),2*sin(t_border),'k','LineWidth',2);
plot(1*cos(t_border),1*sin(t_border),'k','LineWidth',2);
plot([-2,-1],[0,0],'k','LineWidth',2);
plot([1,2],[0,0],'k','LineWidth',2);
% --- 6. Punto de máxima tensión ---
max_val = max(Tau_Mag(:));
[fr, fc] = find(Tau_Mag == max_val, 1);
plot(X(fr,fc),Y(fr,fc),'wx','LineWidth',2,'MarkerSize',10);
text(X(fr,fc),Y(fr,fc)+0.1,'Máx','Color','w','FontWeight','bold');
axis([-2.2 2.2 0 2.2]);
grid off;
hold off;7 apartado 11
La masa se calcula con la siguiente integral: M = ∫∫ d(ρ, θ) dA
El dominio es [1,2]x[0,pi] y por tanto los límites de integración serán:
Límete de rho: 1 ≤ ρ ≤ 2
Límite de theta: 0 ≤ θ ≤ π
El diferencial de área (Jacobiano) es: dA = ρ dρ dθ
La densidad viene dada por: d(ρ, θ) = 1 + e^(ρ² cos θ)
Por último la masa se calculará de la siguiente manera:
M = ∫(de 0 a π) ∫(de 1 a 2) [1 + e^(ρ² cos θ)] · ρ dρ dθ = 26.26 u²
8 Interpretación del trabajo
En el Trabajo K se modela una onda transversal en una placa rectangular mediante el campo de desplazamientos:
[math]\vec{u}(x,y,t)=\vec{a}\cos(\vec{b}\cdot\vec{r}_0 - c t)[/math] con:
[math]\vec{a}=\frac{1}{10}\vec{i}[/math] [math]\vec{b}=\pi\vec{j}[/math] [math]t=0[/math]
Esto se puede interpretar como una onda de corte (onda S) que se propaga en un medio elástico, como la corteza terrestre durante un terremoto. Las ondas S (secundarias o de corte) son ondas transversales, en las que las partículas del material vibran perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda. En este caso, la dirección de propagación es la del vector: [math]\vec{b}=\pi\vec{j}[/math](eje 𝑦 y) y la vibración es en la dirección: [math]\vec{i}[/math](eje 𝑥 x), lo cual es típico de ondas S con polarización horizontal (onda SH). Aplicación al Trabajo M (arco entre radios 1 y 2) En el Trabajo M, el dominio es un sector de arco en coordenadas polares(𝜌,𝜃)(ρ,θ), con:[math]\rho\in[1,2][/math] y el campo de desplazamientos es: [math]\vec{u}(\rho,\theta)=\frac{1}{5}(\rho-1)\rho^{2}\sin\theta\,\vec{e}_\theta[/math]
Este campo representa un desplazamiento puramente tangencial:[math]\vec{e}_\theta[/math] que también corresponde a una onda de corte pero en geometría curvilínea. En sismología, las ondas S pueden viajar a lo largo de estructuras curvas en la corteza, como capas geológicas curvadas o interfaces entre materiales. El factor:[math](\rho-1)\rho^{2}\sin\theta[/math] indica que el desplazamiento es máximo en la parte exterior del arco: [math]\rho = 2[/math] y varía sinusoidalmente con:[math]\theta[/math] lo que podría modelar una onda estacionaria o forzada en una placa curvada. Relación con la temperatura En ambos trabajos se incluye un campo de temperatura: [math]T(x,y)=(x-y)^2[/math] que en el Trabajo M debe expresarse en coordenadas polares:[math]x=\rho\cos\theta[/math] [math]y=\rho\sin\theta[/math] Sustituyendo: [math]T(\rho,\theta)=\rho^{2}(\cos\theta - \sin\theta)^2[/math] Esta temperatura podría representar gradientes térmicos en la corteza debidos a fuentes geotérmicas, que afectan a las propiedades elásticas del medio y, por tanto, a la propagación de ondas sísmicas.
Conclusión
El Trabajo M puede interpretarse como el estudio de ondas de corte (S) en una región curvilínea de la corteza terrestre, como un arco de falla o una capa geológica curvada, donde los desplazamientos son transversales a la dirección radial. La inclusión del campo de temperatura:[math]T(\rho,\theta)=\rho^{2}(\cos\theta - \sin\theta)^2[/math] permite analizar cómo los gradientes térmicos influyen en la deformación y propagación de ondas en estructuras geológicas reales, algo relevante en sismología y geofísica.
