La catenaria (grupo 62)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | La Catenaria. Grupo 62 |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2025-26 |
| Autores | Rodrigo Avellaneda Ciruelos Damián Diaz López Víctor Esteban Jadraque Antonio García Cabanillas Carlos Puebla Díaz |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
En este trabajo analizaremos La Catenaria y las distintas propiedades matemáticas y físicas que presenta dentro del ámbito de la ingeniería civil.
Para ello utilizaremos la herramienta MATLAB, con la que iremos estudiando cada uno de los aspectos de la curva y generaremos las gráficas necesarias para visualizar los resultados con la mayor claridad posible.
En cada apartado se incluirá una pequeña explicación teórica junto con las fórmulas empleadas, detallando los pasos de los cálculos para que quede claro de dónde salen y cómo se aplican.
- La expresión de la Catenaria en cartesianas, viene dada por la siguiente expresión:
Contenido
- 1 Dibujo de la curva
- 2 Vectores velocidad y aceleración
- 3 Longitud de la Curva
- 4 Vectores tangente y normal
- 5 Curvatura y gráfica
- 6 Circunferencia Osculatriz
- 7 Información y Fenómeno qué describe
- 8 Similitud Parábola
- 9 Superficie de Revolución
- 10 Superficie de revolución asociada a la curva
- 11 Distribución de la densidad y masa de la superficie de revolución
- 12 Bibliografía=
1 Dibujo de la curva
La gráfica a continuación muestra la curva conocida como catenaria, de parametrización:En ella se caracteriza el valor A=3 y con el parámetro tal que [math] t\in(-1,1) [/math].
Además se incluye el código de MATLAB empleado para su obtención:
n = 1000;
% Parametrización de la curva dada
t = linspace(-1, 1, n);
x = t;
y = 3*cosh(t/3);
% Generar los puntos de la curva
figure;
plot(x,y,'LineWidth',2,'Color','g');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Catenaria', 'Color','r');
grid on;
2 Vectores velocidad y aceleración
El vector velocidad es el vector tangente a la curva en el punto determinado por el parámetro [math] t[/math] , describe la dirección que adopta la curva en ese punto. La aceleración describe el cambio de magnitud y dirección que experimenta el vector velocidad al cambiar el parámetro [math] t[/math] . Como estos vectores representan una variación se obtienen mediante la derivación de la parametrización de la curva.
Siendo la parametrización:2.1 Gráfica:
% Parametrización
n=20;
t=linspace(-1,1,n);
A=3;
x=t;
y=A*cosh(t/A);
%Vectores velocidad y aceleración
vx = ones(size(t));
vy = sinh(t/A);
ax = zeros(size(t));
ay = cosh(t/A)/A;
%Grafica
figure;
hold on;
grid on;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 2);
quiver(x,y,vx,vy,0,'r');
quiver(x,y,ax,ay,0,'g');
axis equal
hold off;
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria','Velocidad','Aceleración')
3 Longitud de la Curva
3.1 ¿Cómo calcular la longitud?
Para calcular la longitud de la curva se toma el campo escalar constante: [math]f=1[/math]
Luego, la integral de línea se define como: [math]\int_\gamma f \,ds=\int_{t_1 }^{t_2}f\left(\overline{\gamma}(t)\right)\left|\overline{\gamma}'(t)\right|dt[/math].
Así, para su cálculo necesitaremos también el vector velocidad, calculado con anterioridad en el apartado 1: [math] \gamma'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,\sinh(\frac{t}{A})) [/math]
También, necesitaremos su módulo: [math] \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{A}\right)}[/math]
Observamos que se puede utilizar la identidad hiperbólica: [math] \cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1\to \cosh^2(x)=1+\sinh^2(x)[/math]
Así, el módulo del vector velocidad nos queda: [math] \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}=\cosh\left(\frac{t}{A}\right) [/math]
El intervalo dado es el siguiente: [math]t\in (t_1,t_2)=t\in(-1,1)[/math] y [math] A=3[/math]
De este modo, ya conocemos todos los datos para el cálculo: [math] \int_{-1}^{1}\left| \overline{\gamma}'(t) \right|dt=\int_{-1}^{1} \sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)} \, dt = \int_{-1}^{1} \sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} \, dt = \int_{-1}^{1} \cosh\left(\frac{t}{3}\right) \, dt \to 2 \int_{0}^{1} \cosh\left(\frac{t}{3}\right) \, dt = 2*3 \sinh\left(\frac{t}{3}\right) \bigg|_0^1 = 6 \sinh\left(\frac{1}{3}\right) \approx 2.037[/math].
4 Vectores tangente y normal
.png)
%% Apartado 4: Vectores tangente y normal sobre la catenaria (A = 3)
clear; clc;
A = 3;
t = linspace(-1,1,40); % pocos puntos → flechas limpias
% Catenaria
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Tangente unitario
Tx = sech(t/A);
Ty = tanh(t/A);
% Normal unitario
Nx = -Ty;
Ny = Tx;
% GRÁFICA
figure; hold on; grid on; grid minor;
% Catenaria (verde claro)
plot(x,y,'LineWidth',2,'Color',[0 1 0]);
% Tangente (rojo)
quiver(x,y,Tx,Ty,0.35,'Color',[1 0 0],'LineWidth',1.3);
% Normal (verde oscuro)
quiver(x,y,Nx,Ny,0.35,'Color',[0 0.5 0],'LineWidth',1.3);
% Ejes centrados
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
axis equal
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Vectores tangente y normal en la Catenaria');
legend({'Catenaria (verde claro)','Vector tangente (rojo)','Vector normal (verde oscuro)'}, ...
'Location','best');
box on;
4.1 Vector tangente
Para obtener el vector tangente hemos derivado la parametrización [math] γ(t)[/math] y normalizado ese vector. De esta forma queda un vector unitario que indica la dirección en la que avanza la curva en cada punto.
- El vector tangente de la curva se define como:
[math] \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{||γ'(t)||} =sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} =sech(\frac{t}{3})\vec{i}+tanh(\frac{t}{3})\vec{j} [/math]
4.2 Vector normal
Para obtener el vector normal unitario sabemos que debe ser perpendicular al vector tangente y tener magnitud uno.
Si [math] t(t)= (tx(t), ty(t))[/math] , un vector perpendicular se obtiene intercambiando sus componentes y cambiando el signo de una de ellas.
- El vector normal de la curva se define como:
5 Curvatura y gráfica
La curvatura de una curva representa la rapidez en que cambia la dirección del vector tangente en un punto. La función que la expresa viene dada según diversas derivadas. La función curvatura se puede interpretar como que a menor valor de curvatura, más similar es a una recta, que esencialmente es una curva de curvatura 0. El cálculo de la curvatura viene dada por:Si sustituimos en la fórmula la parametrización original, el valor de la curvatura resulta en:
Partiendo del anterior valor de curvatura, se puede aplicar en un código para hallar la curvatura gráficamente en MATLAB:
n=40;
t = linspace (-1, 1,n);
kappa= 1./( cosh(t/3).^2);
figure;
plot (t,kappa,'LineWidth',2,'Color','r');
axis equal
title ('Curvatura Catenaria.','Color','r');
ax_gca=gca;
ax_gca.XAxisLocation='origin';
ax_gca.YAxisLocation='origin';
xlabel('t');
ylabel('kappa(t)');
grid on;
6 Circunferencia Osculatriz
Teniendo la curvatura [math] κ(t)[/math], se define el radio de la circunferencia osculatriz en la parametrización como [math]R(t)=1/|κ(t)|[/math], para el valor específico de [math]t=-0.5[/math]:
pudiéndose aproximar a 3, lo que también se puede ver en la gráfica.
Para determinar el centro de la circunferencia, se determina para cada una de las dos coordenadas con la fórmula [math]Q(t) = γ(t) + (\frac{1}{κ(t)})n(t)[/math] y sabiendo que [math](\frac{1}{κ(-0.5)})=3.08413[/math]:
que podemos aproximar a 0.
que podemos aproximar a 6.
6.1 Gráfica
n = 20;
t = linspace(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Dibujar la catenaria
figure;
hold on;
grid on;
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 3);
axis equal
ax_gca = gca;
ax_gca.XAxisLocation = 'origin';
ax_gca.YAxisLocation = 'origin';
xlabel('x');
ylabel('y');
% Punto P
tP = -0.5;
xP = tP;
yP = A*cosh(tP/A);
% Derivadas
dx = 1;
dy = sinh(tP/A);
d2x = 0;
d2y = cosh(tP/A)/A;
% Curvatura
k = abs((dx*d2y - dy*d2x)/(dx^2 + dy^2)^(3/2));
R = 1/k;
% Vector normal unitario
Tx = sech(tP/A);
Ty=tanh(tP/A);
Nx=-Ty;
Ny=Tx;
% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = xP + R*Nx;
Cy = yP + R*Ny;
%Dibujar circunferencia osculatriz
theta = linspace(0,2*pi,100);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);
plot(xc, yc, 'b--', 'LineWidth', 1.5)
plot(xP, yP, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k') % marcar punto P
legend('Catenaria','Circ. osculatriz','Punto P')
hold off;
7 Información y Fenómeno qué describe
7.1 Estructuras Civiles donde se usa la Catenaria
8 Similitud Parábola
9 Superficie de Revolución
9.1 Dibujado de la Superficie
9.2 Cálculo de la Masa
10 Superficie de revolución asociada a la curva
Expresando en cilíndricas el punto cualquiera: [math]𝑥_1(𝑡),𝑥_2(𝑡),𝑥_3(𝑡)=(0,𝐴cosh (\frac{t}{A},𝑡))[/math], el radio de revolución es [math]r(t)=\sqrt{0^2+(Acosh(t/A))^2}=Acosh(t/A)[/math] al que llamamos R en el código, este giro se hará respecto al eje vertical [math]𝑥_1 = 𝑥_2 = 0[/math], o sea [math]𝑥_3[/math], también se graficará la curva generatriz girada 90 grados.
A=3;
t=linspace(-1, 1, 300); % parámetro t
theta = linspace(0, 2*pi, 120); % ángulo de revolución
%Curva planar original (2D)
x=t;
y=A*cosh(t/A);
%Rotación de 90
%Aplicamos la rotación directamente: (t, y, 0) -> (0, y, t)
gammarot = [zeros(size(t)); y; x]; % (0, A cosh(t/A), t)
%Superficie de revolución
[T,TH] = meshgrid(t, theta);
R=A*cosh(T./A); % radio = A cosh(t/A)
X=R.*cos(TH);
Y=R.*sin(TH);
Z=T;
%Figura compuesta
figure
% superficie
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
hold on;
% curva rotada (perfil que genera la superficie)
plot3(gammarot(1,:), gammarot(2,:), gammarot(3,:), 'r-', 'LineWidth', 2);
% marcos y etiquetas
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de revolucion (A=3)');
legend('Superficie de revolucion','Curva generatriz');
11 Distribución de la densidad y masa de la superficie de revolución
La densidad de la superficie de revolución viene dada por [math]f(x_{1},x_{2},x_{3})=\frac{x_{3}^2}{1+x_{1}^2+x_{2}^2}[/math]. Para determinar cómo se distribuye la densidad en ella, se utiliza la parametrización del catenoide, usada en el código del apartado anterior:
12 Bibliografía=
https://www.uv.es/ivorra/Libros/Catenaria.pdf
www.uv.es
www.ingenieros-civiles.es
www2.caminos.upm.es
