La catenaria (grupo 13)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | La catenaria. Grupo 13 |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2025-26 |
| Autores | Julián Sardina García Caroline Arias Bautista Teresa Carballo Rueda Hugo Lebaniegos Parro África del Valle Díaz |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Dibujo de la curva
1.1 Descripción de la gráfica
En la parte derecha, se muestra la gráfica de la curva catenaria objeto de estudio:
[math]γ(t)= (t, Acosh(\frac{t}{A}))[/math], con [math] A=3[/math].
Es una curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas, tal que [math] γ(t)=(x_1(t),x_2(t)). [/math]
Respecto a sus características generales, su gráfica es muy similar a la de una parábola -- esta comparación será realizada y detallada más adelante --. Esencialmente es la gráfica de la función [math]f(x)= 3cosh(\frac{x}{3}))[/math], en el intervalo [math] x\in [-1,1][/math] , teniendo en cuenta que el campo escalar [math] x_1(t)=t [/math]. De esta forma, la curva alcanza un mínimo en [math] t=0 (x=0)[/math].
1.2 Código de Matlab
A continuación se presenta el código de Matlab empleado para realizar la gráfica de la curva catenaria.
clear,clc;
%Intervalo de la parametrización
t=linspace(-1,1,2000);
%Parametrización
A=3;
x=t;
y=A*cosh(t/A);
%Dibujo de la curva
figure
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('La Catenaria: \gamma(t)=(t,Acosh(t/A))');
2 Vectores velocidad y aceleración
2.1 Cálculo de los vectores
Sea [math] γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) [/math] una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces:
- Su vector velocidad [math] γ'(t) [/math] será igual a:
[math] γ'(t)=x_1'(t)\vec{i}+x_2'(t)\vec{j}[/math].
En este caso: [math] γ'(t)=\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}[/math]
- Su vector aceleración [math] γ''(t) [/math] será igual a:
[math] γ'(t)=x_1''(t)\vec{i}+x_2''(t)\vec{j}[/math].
En este caso: [math] γ''(t)=\frac{1} {A} cosh(\frac{t}{A})\vec{j}[/math]
2.2 Interpretación de los vectores velocidad y aceleración
Podemos observar que el vector velocidad [math] γ'(t) [/math] nos informa de la dirección y el sentido de la curva (es un vector tangente en cada punto de la curva). Igualmente, su módulo (que no es constante) nos informa acerca de la velocidad escalar con la que nos movemos a lo largo de la curva.
Por otra parte, el vector aceleración [math] γ''(t) [/math] nos aporta información acerca de cómo varía el vector velocidad en cada punto de la curva. Se puede apreciar que este vector sólo tiene dirección [math]\vec{j}[/math], visto que el vector velocidad es constante en la dirección [math]\vec{i}[/math], pero depende de t en la dirección [math]\vec{j}[/math].
2.3 Código de Matlab
A continuación se presenta el código de Matlab para la creación de la gráfica con el dibujo de la curva catenaria y sus vectores velocidad y aceleración.
n=20;
t=linspace(-1,1,n);
A=3;
x=t;
y=A*cosh(t/A);
%vectores velocidad y aceleración
V1=linspace(1,1,n);
V2=sinh(t/A);
A1=linspace(0,0,n);
A2=(1/A)*cosh(t/A);
figure
hold on
plot(x,y,'r','LineWidth',2); %curva
quiver(x,y,V1,V2,'m'); %velocidad
quiver(x,y,A1,A2,'k'); %aceleracion
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('La catenaria, sus vectores velocidad y aceleración: \gamma(t), \gamma`(t), \gamma``(t)');
legend('\gamma(t)', '\gamma`(t)','\gamma``(t)')
3 Longitud de la curva
3.1 Cálculo
La longitud de una curva parametrizada según un parámetro t en un intervalo [math] t\in [a,b][/math] es: [math] L=\int_{a}^{b}|γ′(t)|=[/math], donde [math] |γ'(t)|[/math] es el módulo del vector velocidad.
Por ende, sea la curva en este caso la catenaria, parametrizada tal que: [math]γ(t)= (t, Acosh(\frac{t}{A})), t\in [-1,1][/math]. Sabiendo que [math] A=3[/math] y [math] L [/math] es la longitud de la curva:
[math] L=\int_{-1}^{1}|γ'(t)|=\int_{-1}^{1}\sqrt {(x´(t))^2 +(y´(t))^2}dt=\int_{-1}^{1}\sqrt{1+sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt=
\int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2.075733
[/math]
Por lo tanto, la longitud de la curva catenaria en el intervalo [math] t\in [-1,1][/math] es de 2.075733 unidades.
3.2 Código de Matlab
clear,clc;
%definición de variables
a=-1;
b=1;
n=125;
A=3;
t=linspace(a,b,n);
f=@(t) (cosh(t/A)).^2;
suma=0;
%dibujo de la gráfica del módulo del vector velocidad
figure
hold on
plot(t,f(t),'b','LineWidth',2);
%cálculo de la integral y dibujo de los rectángulos
for i=1:(n-1)
h=t(i+1)-t(i); %longitud del intervalo t(i+1)-t(i)
xmed=(t(i+1)+t(i))/2; %punto medio del intervalo t(i+1)-t(i)
ymed=f(xmed);
area=h*ymed; %fórmula del método del rectángulo
suma=suma+area;
%dibujo de los rectángulos
x_rect=[t(i),t(i+1),t(i+1),t(i),t(i)];
y_rect=[0,0,f(t(i+1)),f(t(i)),0];
plot(x_rect,y_rect,'m','LineWidth',1);
end
hold off
legend('Módulo de \gamma´(t)','Rectángulos')
%dibujo de los rectángulos
fprintf ('La longitud es %f.\n ',suma)
4 Vectores tangente y normal
4.1 Cálculo de los vectores
Sea [math] γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) [/math] una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces:
- Su vector tangente [math] \vec{t}(t) [/math] es igual a:
[math] \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} [/math]. En este caso: [math] \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} [/math]
- Su vector normal [math] \vec{n}(t) [/math] es igual a:
[math] \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) [/math], donde [math] \vec{b}(t) [/math] es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana, [math]\vec{b}(t)=\vec{k}[/math]. De esta forma:
[math] \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} [/math]
4.2 Interpretación de los vectores tangente y normal
Por un lado, el vector tangente [math] \vec{t}(t) [/math] nos describe la dirección de la curva en el sentido en que se recorre (algo que se puede observar en la gráfica); es el vector velocidad dividido por su módulo. De esta forma, es un vector unitario.
Por otro lado, el vector normal [math] \vec{n}(t) [/math] apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva y también es unitario. Su definición viene determinada por el producto vectorial [math] \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)[/math]. El vector binormal [math]\vec{b}(t) [/math] es ortogonal al plano formado por los vectores normal y tangente, que en este caso es el plano XY, pues la catenaria es una curva plana.
4.3 Código de Matlab
n=20;
t=linspace(-1,1,n);
A=3;
x=t;
y=A*cosh(t/A);
%vectores tangente y normal
T1=sech(t/A);
T2=tanh(t/A);
N1=-tanh(t/A);
N2=sech(t/A);
figure
hold on
plot(x,y,'r','LineWidth',2); %curva
quiver(x,y,T1,T2,'b'); %vector tangente
quiver(x,y,N1,N2,'m'); %vector normal
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
title('La catenaria, sus vectores tangente y normal');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')
5 Curvatura
6 Circunferencia osculatriz
La circunferencia osculatriz del apartado (6) debe hallarse en el punto 𝑃 = 𝛾(−0.5), es decir, por 𝑡 = −0.5. (a modo de recordatorio ;))
7 Fenómenos que describe
La catenaria es la curva natural que adopta una cuerda o cable flexible y prácticamente inextensible cuando se suspende de sus extremos y actúa sobre él únicamente la gravedad. Su ecuación característica describe con precisión la forma de equilibrio que minimiza la energía potencial del cable. Este comportamiento constituye el fenómeno fundamental asociado a la catenaria: la búsqueda automática de la configuración más estable bajo su propio peso.
En ingeniería civil, esta curva tiene una relevancia notable. Los cables de los puentes colgantes se aproximan a una catenaria debido a su peso propio; las líneas eléctricas y las catenarias ferroviarias cuelgan siguiendo esta misma geometría; y los arcos diseñados con forma de catenaria invertida trabajan de manera óptima solo a compresión, evitando esfuerzos cortantes y flectores, lo que los convierte en estructuras especialmente estables. Esta propiedad fue aprovechada históricamente por arquitectos e ingenieros y sigue aplicándose en estructuras contemporáneas.
En conjunto, la catenaria no solo describe un fenómeno físico básico, sino que constituye una herramienta esencial en el diseño estructural, permitiendo resolver obras eficientes, estables y adaptadas al comportamiento natural de los materiales bajo carga gravitatoria.
8 Ejemplos en la ingeniería civil
Como se acaba de comentar, el uso de la catenaria en la ingeniería ha sido variado. Por ejemplo, con respecto a los arcos con forma de catenaria invertida se debe destacar, por su tamaño y antigüedad, el Gran Arco de Ctesifonte, perteneciente a la antigua persia. Esta estructura es una perfecta aproximación a la curva y ha servido de inspiración para otras obras. Además, en España también aparece la representación de la catenaria en arcos. Sin ir mas lejos, Antonio Gaudí aprovechó sus propiedades en buena parte de su obra: la casa Milà, la casa Batlló o el colegio de las Teresianas son algunos ejemplos.
9 Comparación con la parábola
9.1 Contexto Histórico
Como ya se ha comentado anteriormente, la catenaria es una curva que se adquiere al someter a una cuerda perfectamente flexible e indeformable sujetada por sus dos extremos a la acción de la gravedad. En un primer momento, antes de haber determinado su ecuación, se creía que la catenaria era equivalente a la parábola, debido a las semejanzas en sus trazados. Ahora bien, en 1669 el matemático alemán Joachin Jungius demostró que la catenaria era una curva totalmente distinta, y en 1691 Johann Bernoulli, Gottfried Leibniz y Chistiaan Huygens obtuvieron su ecuación, con la que se ha ido trabajando en esta página.
9.2 Código
Dada la parábola de ecuación [math]y = A+\frac{x^2}{A}[/math] y la catenaria parametrizada [math]γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,Acosh(\frac{t}{A}))[/math], para A=3 y t∈[-1,1] la gráfica de ambas curvas es:
clear,clc;
A=3;
%Intervalo de parametrización
t=linspace(-1,1,100);
%%PARÁBOLA
%Parametrización
xp=t;
yp=3+(t.^2)/3;
%Dibujo de la curva
hold on
plot(xp,yp,'g','LineWidth',2);
%%CATENARIA
%Parametrización
x=t;
y=A*cosh(t/A);
%Dibujo de la curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2 );
title('Comparación parábola y catenaria');
legend('Parábola y=A+x^2/A','Catenaria');
Esta gráfica muestra a la perfección que, aunque ambas curvas tienen forma de U, sus trayectorias son distintas. Ahora bien, si en el código aumentamos el intervalo de representación (t∈[-10, 10]), se puede apreciar perfectamente cómo la catenaria y la parábola se cortan, permitiéndonos visualizar mucho mejor las diferencias entre esa cadena que cuelga bajo la acción de la gravedad frente a la curva plana de segundo grado.
10 El catenoide
10.1 Representación tridimensional
Teniendo en cuenta la parametrización [math]γ(t) = (x_1(t),x_2(t),x_3(t)) = ( 0, Acosh(\frac{t}{A}), t)[/math] si rotamos la catenaria alrededor del eje vertical ([math]x_1 = x_2 = 0[/math]) se genera una superficie de revolución: el catenoide.
Para representar la superficie se puede parametrizar la curva en cilíndricas:
[math] \begin{cases} x_1 = \rho\cos(\theta) \\ x_2 = \rho\sin(\theta) \\ x_3 = t \end{cases} \qquad \theta \in [0, 2\pi],\; t \in [-1,1] [/math]
Siendo [math]ρ = Acosh(\frac{t}{A})[/math] y para [math] A=3 [/math] el código de la representación es:
clear,clc;
%%Representación en R3
%Parámetros
A=3;
t=linspace(-1,1,100);
theta phi=linspace(0, 2*pi, 100);
%Mallado
[Mt,Mth]=meshgrid(t, phi);
%Parametrizamos la curva en cilíndricas
R=A*cosh(Mt/A);
X=R.*cos(Mth);
Y=R.*sin(Mth);
Z=Mt;
%Gráfico
surf(X, Y, Z);
shading flat
title('Catenoide');
10.2 Ejemplos en la ingeniería
Por otro lado, el catenoide es una superficie minimal, esto es, que minimiza el área entre las superficies con el mismo borde. El Teatro Nacional de Taichung, diseñado por Toyo Ito, puede que sea una de las mejores representaciones de esta superficie en arquitectura, al estar compuesto por unos 58 catenoides interconectados. Por otro lado, otros arquitectos como Frei Otto destacan por el uso de superficies minimales, que podrían llegar a aproximarse al catenoide, como el Pabellón Japonés para la Expo 2000 de Hannover, que diseñó Shigeru Ban con Frei Otto como consultor.
Exterior del teatro nacional de Taichung
Pabellón Japonés para la Expo 2000 de Hannover
11 Densidad de la superficie
11.1 Distribución de la densidad
Supongamos que la densidad del catenoide anterior viene dada por la
función:
[math]f(x_1,x_2,x_3) = \frac{x_3^2}{1+x_1^2+x_2^2}[/math]
Trabajamos en cilíndricas:
[math]f(ρ,θ,z) = \frac{z^2}{1+ρ^2} [/math]
Y parametrizamos según la fórmula de la catenaria dada (con A=3):
[math]γ(t)=\frac{t^2}{1+(Acosh(\frac{t}{A}))^2}[/math]
Si graficamos la función en geogebra nos queda:
Como z=t, podemos interpretar la distribución de la densidad en función de la altura. Cuando el valor absoluto de la altura tiende a infinito, el denominador es dominante respecto del numerador y la densidad tiende a 0. Si observamos en -4<t<4 , encontramos en B y D los máximos absolutos de la función y el mínimo absoluto en C, el único punto en el cual se anula la densidad. En conclusión, la gran mayoría de la densidad se acumula alrededor del centro de la superficie.
