La Cicloide (Grupo 49)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La Cicloide. Grupo 49.
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Bruno Goméz Vergara Irene Yuan González Laruas Elisa Amelia Lincango Sarango Belén Mena Velasco Adrián Menéndez Alonso
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

Se considera la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas, donde Res un número positivo fijado:
[math] γ(t) = (x(t), y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)) = (3(t-sint),3(1-cost))[/math], [math] t ∈ (0,2π)[/math]

2 Representación de la curva

Figura 1. Representación del cicloide

% Datos
R=3;
t=linspace(0,2*pi,100); %dominio
% Ecuaciones parametricas
X=R*(t-sin(t));
Y=R*(1-cos(t));
%Dibujo
figure;
plot(X,Y,'red','LineWidth',1);
axis equal;
grid on;
title('La Cicloide');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');

3 Vector velocidad y aceleración

3.1 Cálculo de los vectores velocidad y aceleración

Vector velocidad:
[math] γ'(t)= (x’(t)\vec i + y’ (t)\vec j) = (3 (1-cos t )\vec i + 3 (sin t)\vec j) [/math]
Vector aceleración:
[math] γ''(t)= (x’’(t)\vec i + y’’ (t)\vec j) = (3 (sint )\vec i + 3 (cos t)\vec j) [/math]

3.2 Representación de los vectores velocidad y aceleración

Representación de la velocidad en MATLAB:

Figura 2. Representación de la velocidad

R=3;
t=linspace(0,2*pi,100); % Dominio
X=R*(t-sin(t)); % Ecuaciones paramétricas
Y=R*(1-cos(t)); % Ecuaciones paramétricas
vx=R*(1-cos(t)); % Vectores de la velocidad
vy=R*(sin(t)); %Vectores de la velocidad
% Dibujo
figure;
hold on
plot(X,Y,'red','LineWidth',3);
axis equal;
grid on;
title('La Cicloide');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
 % Dibujo vectores velocidad
for i=1:3:100
    quiver(X(i),Y(i),vx(i),vy(i),1,'color','green','LineWidth',0.7,'MaxHeadSize',0.3);
end
axis([-1,max(X)+2,-2,max(Y)+2])
legend('Cicloide','Vectores de velocidad','location','best');
hold off

Representación de la aceleración en MATLAB:

Figura 1. Representación del cicloide

R=3;
t=linspace(0,2*pi,100); % Dominio
X=R*(t-sin(t)); % Ecuaciones paramétricas
Y=R*(1-cos(t)); % Ecuaciones paramétricas
ax=R*(sin(t)); % Vectores aceleración
ay=R*(cos(t)); % Vectores aceleración

% Dibujo
figure;
hold on
plot(X,Y,'red','LineWidth',3);
axis equal;
grid on;
title('La Cicloide');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
% Dibujo vector aceleración
for j=1:3:100
    quiver(X(j),Y(j),ax(j),ay(j),1,'color','m','LineWidth',0.7,'MaxHeadSize',0.3);
end
axis([-1,max(X)+2,-2,8])
legend('Cicloide','Vectores de aceleración','location','best');
hold off

4 Longitud de la curva

4.1 Cálculo de la longitud de la curva de manera teórica

Longitud de la curva:
[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(3-3cost)^2 +(3sent)^2}dt [/math]

5 Vector tangente y normal de la curva

5.1 Cálculo de la tangente

Módulo de la velocidad:
[math] |γ′(t)|= \sqrt{9((1- cost)^2+sen^2t)} [/math]
Vector tangente:
[math] \vec t(t) = \frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} = \frac{3((1-cost)\vec i + (sint)\vec j)}{3(\sqrt{2-2cost})} = \frac{(1-cost)\vec i + (sint)\vec j}{\sqrt{2-2cost}}[/math]

5.2 Cálculo de la normal

Producto vectorial [math]\vec v × \vec a [/math] :
[math]\vec v × \vec a=\begin{bmatrix} \vec i& \vec j& \vec k\\ 1-cost& sent &0\\ sent & cost & 0 \end{bmatrix} = 9(cost-cos^2t-sen^2t)=9(cost-1)= -9(1-cost) [/math]
Módulo de [math]\vec v × \vec a [/math] :
[math] |\vec v × \vec a|= \sqrt{9^2 (cost-1)^2}= 9\sqrt{cos^2t-2cost+1}= 9(1-cost) [/math]
Vector binormal:
[math]\vec b= \frac{\vec v × \vec a}{|\vec v × \vec a|}= \frac{-9(1-cost)}{ 9(1-cost)}=-1=-\vec k [/math]
Vector normal:
[math] \vec n(t) = \vec b× \vec t=\frac{1}{\sqrt{2+2cost}}\begin{bmatrix} \vec i& \vec j& \vec k\\ 0& 0 &-1\\ 1-cost& sent & 0 \end{bmatrix} = \frac{(-sint)\vec i + (1-cost)\vec j}{\sqrt{2-2cost}} [/math]

6 Curvatura

[math] \kappa\ (t)=\frac{|\vec v × \vec a|}{|\vec v|^3}=\frac{9(1-cost)}{(3 \sqrt2 \sqrt{1-cost})^3}= \frac{3(1-cost)}{3( \sqrt2 \sqrt{1-cost})^3}= \frac{1-cost}{6\sqrt2(1-cost)\sqrt{1-cost}}= \frac{1}{6\sqrt2\sqrt{1-cost}} [/math]

7 La Cicloide en la ingeniería civil

7.1 Museo del Arte Kimbell

Uno de los ejemplos más famosos del uso de la cicloide en al arquitectura moderna. El arquitecto Louis Kahn y el ingeniero civil August Komendant, diseñaron el techo del museo compuesto de una serie de bóvedas de cañón, las cuales eran cicloides.

7.2 Cycloïd Piazza

Una instalación creada por Raphaël Zarka, fue inagurada en 2024 en la plaza del Centre Pompidou de París. La estructura es una escultura formada por superficies curvas basadas en la cicloide.

7.3 Hopkins Center for the Arts

8 Bibliografía

https://arquitecturaviva.com/works/museo-de-arte-kimbell-fort-worth#lg=1&slide=0