La Cicloide (Grupo 49)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La Cicloide. Grupo 49.
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Bruno Goméz Vergara Irene Yuan González Laruas Elisa Amelia Lincango Sarango Belén Mena Velasco Adrián Menéndez Alonso
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

Se considera la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
Vector posición:
[math] γ(t) = (x(t), y(t)) = (3(t-sint),3(1-cost))[/math]

2 Representación de la curva

% Datos
R=3;
t=linspace(0,2*pi,100); %dominio
% Ecuaciones parametricas
X=R*(t-sin(t));
Y=R*(1-cos(t));
%Dibujo
figure;
plot(X,Y,'red','LineWidth',1);
axis equal;
grid on;
title('La Cicloide');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');

3 Vector velocidad y aceleración

3.1 Cálculo de los vectores velocidad y aceleración

Vector velocidad:
[math] γ'(t)= (x’(t)\vec i + y’ (t)\vec j) = (3 (1-cos t )\vec i + 3 (sin t)\vec j) [/math]
Vector aceleración:
[math] γ''(t)= (x’’(t)\vec i + y’’ (t)\vec j) = (3 (sint )\vec i + 3 (cos t)\vec j) [/math]

3.2 Representación de los vectores velocidad y aceleración

Representado de la velocidad en MATLAB:

R=3;
t=linspace(0,2*pi,100); % dominio
% Ecuaciones parametricas
X=R*(t-sin(t));
Y=R*(1-cos(t));
 % Vectores de la velocidad
vx=R*(1-cos(t));
vy=R*(sin(t));
% Dibujo
figure;
hold on
plot(X,Y,'red','LineWidth',3);
axis equal;
grid on;
title('La Cicloide');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
 % Dibujo vectores velocidad
for i=1:3:100
    quiver(X(i),Y(i),vx(i),vy(i),1,'color','green','LineWidth',0.7,'MaxHeadSize',0.3);
end
axis([-1,max(X)+2,-2,max(Y)+2])
legend('Cicloide','Vectores de velocidad','location','best');
hold off

Representación de la aceleración en MATLAB:

4 Longitud de la curva

4.1 Cálculo de la longitud de la curva de manera teórica

Longitud de la curva:
[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(3-3cost)^2 +(3sent)^2}dt [/math]

5 Cálculo de los vectores tangentes y normales de la curva y su representación

Módulo de la velocidad:
[math] |γ′(t)|= \sqrt{9((1- cost)^2+sen^2t)} [/math]
Vector tangente:
[math] \vec t(t) = \frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} = \frac{3((1-cost)\vec i + (sint)\vec j)}{3(\sqrt{2-2cost})} = \frac{(1-cost)\vec i + (sint)\vec j}{\sqrt{2-2cost}}[/math]
Vector normal:
[math] \vec n(t) = \vec b × \vec t=(matriz)= \frac{(-sint)\vec i + (1-cost)\vec j}{\sqrt{2-2cost}} [/math]

6 La Cicloide en la ingeniería civil

Cicloidemuseo.jpg