Coordenadas cilíndricas parabólicas (grupo 21)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	coordenadas cilíndricas parabólicas (Grupo 27)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	MARTA CUEVAS GARCÍA ANDREA DANIELA DE SOUSA SEQUERA CLAUDIA GÁMEZ CASADO CARLOTA SÁNCHEZ VARAS Pablo Fernández Arce
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introduccion

En este trabajo estudiaremos y aplicaremos las coordenadas cilíndricas parabólicas. Estas se denotan por \((u, v, z)\) y su relación con las coordenadas cartesianas \((x_1, x_2, x_3)\) es:

[math]\begin{cases}x_1 = \left(\frac{u^2 - v^2}{2}\right)\\ x_2 = uv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

Como las coordenadas cilíndricas pueden verse como la extensión de las coordenadas polares en \(R^2\) a \(R^3\), definiendo la variable \(z\) como la altura cartesiana \(x_3\), de manera análoga, las coordenadas cilíndricas parabólicas generalizan un cambio de coordenadas en \(R^2\) a \(R^3\) respecto de las coordenadas parabólicas de \(R^2\).

Sirven principalmente para simplificar ecuaciones y problemas cuya geometría natural está asociada a parábolas rotadas alrededor de un eje. Al elegir un sistema que coincide con la forma del problema, las ecuaciones (especialmente las diferenciales) se vuelven más fáciles de resolver.

2 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\), \(\gamma_z\) en cartesianas

2.1 Linea coordenada \(\gamma_u\)

Manteniendo \(v\) y \(z\) constantes, y variando \(u\):

[math] \gamma_u(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = tv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

2.2 Linea coordenada \(\gamma_v\)

Manteniendo \(u\) y \(z\) constantes, y variando \(v\):

[math] \gamma_v(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}\right) \\ x_2 = ut \\ x_3 = z \end{cases} [/math]

2.3 Linea coordenada \(\gamma_z\)

Manteniendo \(u\) y \(v\) constantes, y variando \(z\):

[math] \gamma_z(t): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = t \end{cases} [/math]

2.4 Gráficas y códigos MATLAB en 2D y 3D

Las curvas coordenadas asociadas a \(u\) y \(v\) tienen forma de parábolas parametrizadas por \(u\) y \(v\).

%Líneas coordenadas de u y v en 2D
clear;clc

figure;
hold on;

%Vectores interés
u=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de u
v=linspace(0.5, 5, 100); % Valores de v

%Curva γ_u: fijando v, (queda libre u) 
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 1.5);

%Curva γ_v: fijando u (queda libre v) 
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

%EditGráfico
title('Líneas coordenadas');
xlabel('Eje x_1');
ylabel('Eje x_2');
legend({'línea γ_u', 'líneas γ_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 10);
v = linspace(0, 2, 10);

% Creación de mallas 
[U, V] = meshgrid(u, v);

% Línea coordenada de u
u_const = 1; % Fijamos u 
x1_f1 = (u_const.^2 - V.^2) / 2;
x2_f1 = u_const .* V;
x3_f1 = 0;

% Línea coordenada de v
v_const = 1; % Fijamos v
x1_f2 = (U.^2 - v_const.^2) / 2;
x2_f2 = U .* v_const;
x3_f2 = 0;

% Crear una figura combinada
figure;

% Superficie de línea coordenada de u
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)), 'FaceAlpha', 0.5);
hold on;

% Superficie de línea coordenada de v
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)), 'FaceAlpha', 0.5);

% Configuración de la figura combinada
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('curvas coordenadas de u y v con z fijado en x_3=0 ');
axis equal;
grid on;
legend('Línea coordenada de u', 'Línea coordenada de v');
hold off;