La catenaria (grupo 13)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La catenaria. Grupo 13
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2025-26
Autores	Julián Sardina García Caroline Arias Bautista Teresa Carballo Rueda Hugo Lebaniegos Parro África del Valle Díaz
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Dibujo de la curva

Representación de la catenaria

1.1 Código de Matlab

clear,clc;
%Intervalo de la parametrización
t=linspace(-1,1,2000);
%Parametrización
A=3;
x=t;
y=A*cosh(t/A);
%Dibujo de la curva
figure
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('La Catenaria: \gamma(t)=(t,Acosh(t/A))');

2 Vectores velocidad y aceleración

Representación de la catenaria

Los vectores velocidad [math] γ'(t) [/math] y aceleración [math] γ''(t)[/math] se calcularán a partir de la parametrización de la catenaria [math]γ(t)= (t, Acosh(\frac{t}{A}))[/math], con [math] A=3[/math].

2.1 Cálculo de los vectores

Sea [math] γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) [/math] una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces:

- Su vector velocidad [math] γ'(t) [/math] será igual a:
[math] γ'(t)=x_1'(t)\vec{i}+x_2'(t)\vec{j}[/math]. En este caso: [math] γ'(t)=\vec{i}+cosh(\frac{t}{A})\vec{j}[/math]

- Su vector aceleración [math] γ''(t) [/math] será igual a:
[math] γ'(t)=x_1''(t)\vec{i}+x_2''(t)\vec{j}[/math]. En este caso: [math] γ''(t)=senh(\frac{t}{A})\vec{j}[/math]

2.2 Interpretación de los vectores velocidad y aceleración a partir de la gráfica

Podemos observar que el vector velocidad [math] γ'(t) [/math] nos informa de la dirección y el sentido de la curva (es un vector tangente en cada punto de la curva). Igualmente, su módulo (que no es constante) nos informa acerca de la velocidad escalar con la que nos movemos a lo largo de la curva.

Por otra parte, el vector aceleración [math] γ''(t) [/math] aporta información acerca de cómo varía el vector velocidad en cada punto de la curva. Se puede apreciar que este vector sólo tiene dirección \vec{j}, visto que el vector velocidad es constante en la dirección \vec{i}, pero depende de t en la dirección \vec{j}.

2.3 Código de Matlab

n=20;
t=linspace(-1,1,n);
A=3;
x=t;
y=A*cosh(t/A);

%vectores velocidad y aceleración
V1=linspace(1,1,n);
V2=sinh(t/A);
A1=linspace(0,0,n);
A2=(1/A)*cosh(t/A);
figure
hold on
plot(x,y,'r','LineWidth',2); %curva
quiver(x,y,V1,V2,'m'); %velocidad
quiver(x,y,A1,A2,'k'); %aceleracion
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('La catenaria, sus vectores velocidad y aceleración: \gamma(t), \gamma`(t), \gamma``(t)');
legend('\gamma(t)', '\gamma`(t)','\gamma``(t)')

3 Longitud de la curva

La longitud de una curva parametrizada según un parámetro t en un intervalo [math] t\in [a,b][/math] es: [math] L=\int_{a}^{b}|γ′(t)|=[/math], donde [math] |γ'(t)|[/math] es el módulo del vector velocidad.

Por ende, sea la curva en este caso la catenaria, parametrizada tal que: [math]γ(t)= (t, Acosh(\frac{t}{A})), t\in [-1,1][/math] Sabiendo que [math] A=3[/math] y [math] L [/math] es la longitud de la curva:

[math] L=\int_{-1}^{1}|γ'(t)|=\int_{-1}^{1}\sqrt {(x´(t))^2 +(y´(t))^2}dt=\int_{-1}^{1}\sqrt{1+sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt= \int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2.075733 [/math]

Por lo tanto, la longitud de la curva catenaria en el intervalo [math] t\in [-1,1][/math] es de 2.075733 unidades.

Longitud de la curva en el intervalo [-1,1]

3.1 Código de Matlab

clear,clc;

%definición de variables
a=-1;
b=1;
n=125;
A=3;
t=linspace(a,b,n);
f=@(t) (cosh(t/A)).^2;
suma=0;

%dibujo de la gráfica del módulo del vector velocidad
figure
hold on
plot(t,f(t),'b','LineWidth',2);

%cálculo de la integral y dibujo de los rectángulos
for i=1:(n-1)
    h=t(i+1)-t(i); %longitud del intervalo t(i+1)-t(i)
    xmed=(t(i+1)+t(i))/2; %punto medio del intervalo t(i+1)-t(i)
    ymed=f(xmed);
    area=h*ymed; %fórmula del método del rectángulo
    suma=suma+area;

    %dibujo de los rectángulos
    x_rect=[t(i),t(i+1),t(i+1),t(i),t(i)];
    y_rect=[0,0,f(t(i+1)),f(t(i)),0];
    plot(x_rect,y_rect,'m','LineWidth',1);
end

hold off
legend('Módulo de \gamma´(t)','Rectángulos')

%dibujo de los rectángulos
fprintf ('La longitud es %f.\n ',suma)

6 Comparación con la parábola

Una vez representada la gráfica de la catenaria es normal preguntarse por las similitudes que puede llegar a tener con la parábola, puesto que a simple vista se asemejan. Ahora bien, visualizar las diferencias es sencillo si se representan en una misma gráfica. Por ejemplo, dada la parábola de ecuación [math]y = A+\frac{x^2}{A}[/math] y la catenaria de parametrización [math]γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,Acosh(\frac{t}{A}))[/math], para A=3 y t∈(-1,1) se puede observar en la imagen que ambas tienen forma de U, pero tienen distintas curvaturas, siendo la parábola más cerrada que la catenaria.

Comparación con la parábola

clear,clc;
A=3;
%Intervalo de parametrización
t=linspace(-1,1,100);

%%PARÁBOLA
%Parametrización
xp=t;
yp=3+(t.^2)/3;
%Dibujo de la curva
hold on
plot(xp,yp,'g','LineWidth',2);


%%CATENARIA
%Parametrización
x=t;
y=A*cosh(t/A);
%Dibujo de la curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2 );

title('Comparación parábola y catenaria');
legend('Parábola y=A+x^2/A','Catenaria');

7 El catenoide

Representación en R3

clear,clc;
%%Representación en R3
%Parámetros
A=3;
t=linspace(-1,1,100);
phi=linspace(0, 2*pi, 100);

%Mallado
[Mt,Mphi]=meshgrid(t, phi);

%Parametrizamos la curva en cilíndricas
R=A*cosh(Mt/A);
X=R.*cos(Mphi);
Y=R.*sin(Mphi);
Z=Mt;

%Gráfico
surf(X, Y, Z);
shading flat
title('Catenoide');