Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS).
Asignatura	EDP
Curso	2024-25
Autores	Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía de Benito Valdueza
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo el calor se transfiere en el océano bajo diferentes condiciones como son la densidad, difusividad y conductividad del agua.

2 Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo

2.1 Planteamiento

Consideremos una porción de la Tierra de longitud [math]L[/math], en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Consideramos la ecuación de transmisión del calor en el océano:

[math] \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}[/math],

donde [math]\alpha[/math] es la constante que representa la difusividad del agua.

Consideramos las siguientes condiciones frontera:

[math] \begin{aligned} &\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{-h}{k}(u_{amb}-u(0,t))\\ &\frac{du}{dx}(L,t)=0\\ \end{aligned} [/math],

donde [math]h[/math] representa el coeficiente de transferencia del calor y [math]k[/math] la conductividad térmica.

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,

[math] u(x,0)=u_0 [/math]

2.2 Solución

Considerando que para tiempos muy grandes \( u_t(x,t) \to 0 \), la solución estacionaria está dada por:

[math] u(x,t) = u_{\text{amb}} [/math]

Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

Solución mediante separación de variables

Por otro lado, si resolvemos el problema mediante separación de variables, obtenemos

[math] u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t} [/math]

dónde [math]\lambda_n=\alpha \left( \frac{\beta_n}{L} \right)^2 [/math], con coeficientes de Fourier

[math]A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{\sqrt{\frac{\lambda_nL}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right) [/math]

[math]B_n= 0 [/math]