Ecuación del calor (Grupo ILIA)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación del calor. Grupo MAMBD
Asignatura	EDP
Curso	2024-25
Autores	Ignacio Campos Paños, Ignacio Martínez Cerezo, Alicia Ruiz Dominguez, Luis Ramos Ortiz
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

La ecuación del calor es una de las ecuaciones en derivadas parciales más importantes y conocidas, dada su implicación en diversos ámbitos tanto de la ingeniería como de la física. Estudiaremos el comportamiento de esta ecuación en una barra unidimensional aislada en el intervalo [0,1], imponiendo condiciones de frontera con temperatura constante. Pero en la vida real las fuentes de calor no necesariamente tienen por qué estar en los extremos, por lo que el objetivo de este artículo es introducir una fuente de calor puntual en algún punto en el interior de la barra (0,1) y ver cómo se comporta la ecuación del calor.

2 Ecuación del calor

La ecuación de difusión del calor original sin fuentes de calor externas viene dada por: [math] u_t=u_{xx} [/math] donde la función u(x,t) es la función temperatura en cada posición e instante de tiempo, [math]u_t[/math] la derivada temporal y [math]u_{xx}[/math] la segunda derivada espacial, que modela la difusión del calor.

Si consideramos que la condición inicial en [math]t=0[/math] es [math]u(x,0)=sen(x)[/math], podemos obtener el siguiente problema de ecuación del calor con condiciones frontera:

[math] \begin{cases} u_t - u_{xx} = 0, & x \in [0,1], \quad t \gt 0 \\ u(0,t) = sen(0), & t \gt 0 \\ u(1,t) = sen(1), & t \gt 0 \\ u(x,0) = sen(x), & x \in [0,1] \end{cases} [/math]

Resolviendo este problema obtenemos que la solución estacionaria es:

[math]u_s(x)=xsen(1)[/math]

y la solución general:

[math]u(x,t)=u_s(x)+\sum_{n=1}^{\infty}b_ne^{-(n\pi)^2}sen(n\pi x)[/math]

Con [math]b_n=2\int_0^{1}(sen(x)-xsen(1))sen(n\pi x)dx[/math]