Ecuación del calor (Grupo ACIRV)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación del calor (Grupo ACIRV).
Asignatura	EDP
Curso	2024-25
Autores	Ángela Sotelo Fernández, Carmen Doñoro Molina, Inés Torres Gómez, Rubén Gutiérrez Hernández, Violeta Luján Barrios.
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

2 Modelización de la ecuación del calor con una dimensión

En primer lugar vamos a resolver el siguiente problema de manera analítica, para después comparar su solución con la obtenida numéricamente.

Se considera una varilla metálica que ocupa el intervalo \([0,1]\) y que se encuentra aislada por su superficie lateral, de manera que la conducción de calor solo se produce en la dirección longitudinal. La temperatura inicial de la varilla es \(10^{\circ}C\). En el extremo derecho se consigue mantener la temperatura a \(10^{\circ}C\) mientras que en el izquierdo la temperatura es siempre de \(1^{\circ}C\).

El sistema que modeliza el comportamiento de la temperatura, representada por la función \(u(x,t)\), es el siguiente:

[math] \left \{ \begin{array}{llll} u_t - u_{xx} & = 0 & x \in [0,1], & t\gt0 \\ u(0,t)& = 1 & t\gt0\\ u(1,t) & = 10 & t\gt0\\ u(x,0) &= 10 & x \in [0,1] \end{array} \right . [/math]

Puesto que no es un sistema homogéneo, debemos encontrar primero la solución estacionaria. Es decir, suponemos que \(t \rightarrow \infty\) (la solución ya no varía en el tiempo).

La solución estacionaria obtenida es: \(v(x) = 9x +1\) . Al representarla gráficamente en 3D obtenemos:

Solución estacionaria

%Creamos una matriz que representa una malla de puntos (tiempo,
% espacio) y en cada una de las columnas introducimos el valor de 9x+1 para
% todos los tiempos.

% Matriz
evaluaciones = zeros(100,100);

% Límite temporal y vectores 
T = 1;
t = linspace(0,T,100);
x = linspace(0,1,100);

% Rellenamos la matriz 
for j = 1:100
    evaluaciones(:,j) = (9*x(j) + 1) * ones(100,1);
end

% Representación gráfica
surf(t,x,evaluaciones')
title('Solución estacionaria: v(x) = 9x + 1')
xlabel('Tiempo')
ylabel('Espacio')
zlabel('Temperatura (°C)')

Una vez calculada la solución estacionaria, homogeneizamos el sistema definiendo la ecuación \(w(x,t) = u(x,t) - v(x)\).

[math] \left \{ \begin{array}{llll} w_t - w_{xx} & = 0 & x \in [0,1], & t\gt0 \\ w(0,t)& = 0 & t\gt0\\ w(1,t) & = 0 & t\gt0\\ w(x,0) &= 9(1-x) & x \in [0,1] \end{array} \right . [/math]

Resolviendo mediante el método de separación de variables y por superposición de soluciones, obtenemos la siguiente solución: