Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS).
Asignatura	EDP
Curso	2024-25
Autores	Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía de Benito Valdueza
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo el calor se transfiere en el océano bajo diferentes condiciones como son la densidad, difusividad y conductividad del agua.

2 Ecuación del calor

Consideramos la ecuación de transmisión del calor en el océano:

[math] \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}[/math],

donde [math]\alpha[/math] es la constante que representa la difusividad del agua. Consideramos las siguientes condiciones frontera:

[math] \begin{aligned} &\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{-h}{k}(u_{amb}-u(0,t))\\ &\frac{du}{dx}(L,t)=0\\ \end{aligned} [/math],

donde [math]h[/math] representa el coeficiente de transferencia del calor y [math]k[/math] la conductividad térmica. Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,

[math] u(x,0)=u_0 [/math]

Considerando que para tiempos muy grandes \( u_t(x,t) \to 0 \), la solución estacionaria está dada por:

[math] u(x,t) = u_{\text{amb}} [/math]

Por otro lado, si resolvemos el problema mediante separación de variables, obtenemos

[math] u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t} [/math]

dónde

[math]\lambda_n=\alpha \left( \frac{\beta_n}{L} \right)^2 [/math]

[math]A_n= [/math]

[math]B_n= [/math]