Ecuación del calor (Grupo GIXP)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación del calor. Grupo GIXP
Asignatura	EDP
Curso	2024-25
Autores	Gonzalo Garelly Israel López Francisco Lavao Paula León
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

2 Ecuación Del Calor

Consideremos la ecuación del calor en una dimensión:

[math] \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\kappa}{Q\rho} \Delta u = \frac{1}{Q}f, \quad x \in (0,L), \quad t \gt 0, [/math]

donde [math] u(x,t) [/math] representa la temperatura en función del tiempo y la posición, y [math] \frac{\kappa}{Q\rho} [/math] es la difusividad térmica del material que se expresa en términos de la conductividad térmica ([math] \kappa [/math]), la densidad del material ([math] \rho [/math]) y la capacidad calorífica ([math] Q [/math]).

Las [math] \textbf{condiciones de Dirichlet} [/math] establecen valores fijos de temperatura en los extremos:

[math] u(0,t) = T_0, \quad u(L,t) = T_L, \quad t \gt 0. [/math]

Además, necesitamos una [math] \textbf{condición inicial} [/math] que defina la temperatura en [math] t = 0: [/math]

[math] u(x,0) = f(x), \quad x \in (0,L). [/math]

3 Modelización De La Ecuación Del Calor Para Condiciones Dirichlet

La ecuación del calor se deriva de la [math] \textbf{ley de Fourier} [/math] y el [math] \textbf{principio de conservación de la energía} [/math]. Deduzcamosla paso a paso.

3.1 Ley de Fourier

La Ley de Fourier establece que el flujo de calor [math] (\vec{q}) [/math] es proporcional al gradiente de temperatura:

[math] \vec{q} = - \kappa \nabla u. [/math]

3.2 Corolario del Principio de Conservación de la Energía

La tasa de variación de la energía de un volumen [math] V [/math] de longitud infinitesimal en una barra es igual al balance neto de la energía que fluye por su frontera [math] \partial V [/math] junto con la producción por fuerzas externas que pueden aparecen por reacciones químicas.

[math] \frac{d}{dt} \left( \int_{V} \rho e(x,t) \, dV \right) = \int_{\partial V} \vec{q} \cdot \vec{n} \, ds + \int_{V} \rho f \, dV [/math]

4 Motivación y enfoque

La modelización matemática es una herramienta fundamental en el ámbito de la física para predecir cómo actuará un sistema a lo largo del tiempo y el espacio y así poder actuar conforme a él o ajustarlo si nos lo permite. Un modelo muy conocido es el de la ecuación de difusión, que forma parte de las tres ecuaciones en derivadas parciales más empleadas en la física.

Dicha ecuación aparece en fenómenos tales como:

• [math]\textbf{Gestión térmica en electrónica:}[/math] donde permite modelar la disipación de calor en procesadores y optimizar el diseño de disipadores metálicos;
• [math]\textbf{Climatología:}[/math] donde se emplea para estudiar la transferencia de calor en la atmósfera y los océanos, ayudando a predecir cambios climáticos;
• [math]\textbf{Biología:}[/math] donde describe la difusión de fármacos en el torrente sanguíneo, facilitando el desarrollo de tratamientos más efectivos.

En nuestro caso, plantearemos el problema de la difusión del calor unidimensional en una varilla, para unas condiciones genéricas de coeficiente de difusión y de la función de generación de calor por fuerzas externas, y así jugaremos modelizando distintas situaciones, tales como la de dadas unas condiciones de tipo Dirichlet en la frontera y una condición inicial fijadas, usar varillas de distintos tipos de metal (variando el coeficientes de difusión) ó aplicar calor en el en distintos puntos de la varilla mediante el contacto con hierros a distintas temperaturas.

5 Planteamiento del sistema de EDP con condiciones Dirichlet en 1D

Imaginémonos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \ro, de longitud L, cuya temperatura inicial viene dada por la constante u_0. También se cumple que en los extremos la varilla no altera su temperatura, de modo que el extremo izquierdo siempre se encuentra a una temperatura u_1 y el derecho a una temperatura u_2. Además, tenemos en cuenta una función /omega, que representa la producción de energía externa, y la tomaremos como una función constante en tiempo, es decir, /omega(x) con x \in [0,L]. Aplicando la ley de la conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente expresión de la EDP: u_t(x,t)- k/(Q \ro)*uxx(x,t) = 1/Q * \omega(x) donde K es la constante de conductividad térmica asociada a la ley de fourier, y Q la capacidad calorífica que relaciona la temperatura con la energía.

A continuación agrupamos los términos K/(Q*\ro) como \alpha y 1/Q*\omega(x) como f(x), donde a \alpa se le llama coeficiente de difusión.

Si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica tenemos como resultado final el sistema: (QUIERO QUE AQUÍ ME APAREZCA CON UN CORCHETE GRANDE A LA IZQUIERDA) u_t- \alpha u_xx = f x\in[0,L] t>0 u(x,0) = u_0 x\in [0,L] u(0,t) = u_1 t>0 u(L,t) = u_2 t>0

6 Resolvamos la ecuación aplicando separación de variables

Para ello obtenemos la solución estacionaria v(x) como: v(x)= -1/\alpha*\integral \integral f dx^2 imponiendo además que \corchete grande v(0)=u_1 y v(L)= u_2

Definimos w=u-v y resolvemos w aplicando separación de variables, llegando a que: w(x,t) = \sum {n=1}{\infinity} c_n * sen(\raiz(\alpha)n\pi x)*exp(-((\alpha*n^2*\pi^2)/L^2)t)

7 Planteamiento del sistema de EDP con condiciones Dirichlet en 1D

Imaginemos que tenemos una varilla metálica con densidad constante \( \rho \), de longitud \( L \), cuya temperatura inicial viene dada por la constante \( u_0 \). Además, los extremos de la varilla mantienen temperaturas fijas, con el extremo izquierdo siempre a una temperatura \( u_1 \) y el derecho a una temperatura \( u_2 \).

También consideramos una función \( \omega \), que representa la producción de energía externa. Supondremos que es independiente del tiempo, es decir, \( \omega(x) \) con \( x \in [0,L] \).

Aplicando la ley de conservación de la energía, la ley de Fourier y el teorema de la divergencia, llegamos a la siguiente ecuación en derivadas parciales:

[math] u_t(x,t) - \frac{k}{Q \rho} u_{xx}(x,t) = \frac{1}{Q} \omega(x) [/math]

donde: \( k \) es la constante de conductividad térmica asociada a la ley de Fourier. \( Q \) es la capacidad calorífica, que relaciona la temperatura con la energía.

Reagrupando términos, definimos: [math] \alpha = \frac{k}{Q \rho}, \quad f(x) = \frac{1}{Q} \omega(x) [/math] donde \( \alpha \) se conoce como **coeficiente de difusión térmica**.

Con esto, si aplicamos nuestras condiciones en la frontera parabólica, el sistema queda planteado de la siguiente forma:

[math] \begin{cases} u_t - \alpha u_{xx} = f, & x \in [0,L], \quad t \gt 0 \\ u(x,0) = u_0, & x \in [0,L] \\ u(0,t) = u_1, & t \gt 0 \\ u(L,t) = u_2, & t \gt 0 \end{cases} [/math]

8 Resolvamos la ecuación aplicando separación de variables

Primero, buscamos la solución estacionaria \( v(x) \), que cumple:

[math] v_{xx} = -\frac{1}{\alpha} f(x) [/math]

Integrando dos veces:

[math] v(x) = -\frac{1}{\alpha} \int \int f(x) \, dx^2 [/math]

Imponiendo las condiciones de contorno:

[math] \begin{cases} v(0) = u_1 \\ v(L) = u_2 \end{cases} [/math]

Definimos \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), lo que nos lleva a la ecuación homogénea:

[math] w_t - \alpha w_{xx} = 0 [/math] con condiciones frontera también homogéneas.

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución en serie de Fourier:

[math] w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin\left(\frac{(\sqrt{\alpha}n\pi)x}{L} \right) e^{- \left(\frac{\alpha n^2 \pi^2}{L^2} \right) t} [/math]