Ecuación del calor (PPAD)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación del calor (Grupo PPAD). |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Problema
Se obtiene el sistema: \[ u_t - u_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 \] \[ u(0,t) = 1, \quad t > 0 \] \[ u(1,t) = 10, \quad t > 0 \] \[ u(x,0) = 10, \quad x \in (0,1) \]
2 Solución Estacionaria
Calculamos la solución estacionaria \( v(x) \), de esta forma cuando \( t \to \infty \), \( u(x,t) \to v(x) \) y \( v \) será solución de: \[ v(x) = 0 \] \[ v(0) = 1 \] \[ v(1) = 10 \] Resolviendo: \[ v(x) = ax + b, \quad a, b \in \mathbb{R} \] Dado que \( v(0) = b = 1 \) y \( v(1) = a + 1 = 10 \), obtenemos \( a = 9 \), por lo que: \[ v(x) = 9x + 1, \quad x \in (0,1) \] Graficamos esta solución.
3 Resolviendo
Se realiza el cambio de variable: \[ w(x,t) = u(x,t) - v(x) \] Entonces, el sistema se transforma en: \[ w_t - w_{xx} = 0, \quad x \in (0,1), \quad t > 0 \] \[ w(0,t) = 0, \quad t > 0 \] \[ w(1,t) = 0, \quad t > 0 \] \[ w(x,0) = u(x,0) - v(x) = 10 - (9x + 1) = -9x + 9, \quad x \in (0,1) \]
4 Resolviendo por Separación de Variables
Se obtiene: \[ w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) \] \[ u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x), \quad x \in (0,1), \quad t > 0 \] Donde: \[ B_n = \frac{18}{n\pi} \]
5 Nota
Se usa la extensión impar de: \[ \tilde{g}(x) = \begin{cases} -9x + 9, & x \in (0,1) \\ -9x - 9, & x \in (-1,0) \end{cases} \] \(\tilde{g}(x)\) es impar y no cambia puntualmente su desarrollo de Fourier en \( x = 0 \). Así, la solución final es: \[ u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n\pi x) \]
