Series de Fourier (Grupo ACIRV)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Series de Fourier (Grupo ACIRV).
Asignatura	EDP
Curso	2024-25
Autores	Ángela Sotelo Fernández, Carmen Doñoro Molina, Inés Torres Gómez, Rubén Gutiérrez Hernández, Violeta Luján Barrios.
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

Las series de Fourier constituyen una herramienta fundamental en el análisis matemático. Estas series, introducidas por Joseph Fourier en el siglo XIX, nos permiten representar funciones periódicas mediante una base de funciones trigonométricas.

La idea es que cualquier función \( f(x) \) periódica con \( f\in L^2(-\pi,\pi) \) puede expresarse como:

[math] f(x) = d_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ d_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + c_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \right] [/math]

donde los coeficientes \( d_n \) y \( c_n \) se obtienen mediante integrales que dependen de la función dada.

2 Base trigonométrica compleja

La base trigonométrica es una base del espacio [math]L^2([-\pi,\pi])[/math], por lo que las funciones pertenecientes a este espacio pueden escribirse como una combinación lineal de los elementos de la base. A estas expresiones se les llama series de Fourier.

Dado que es una base ortonormal, sus coeficientes pueden calcularse mediante integración, obteniendo las siguientes fórmulas:

[math]d_0 = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \frac{1}{2} \, dx , \hspace{30px} d_n = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(n\pi x) \, dx , \hspace{30px} c_n = \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(n\pi x) \, dx . [/math]

Utilizando el siguiente código en MATLAB, se pueden representar los 10 primeros elementos de la base en una gráfica:

% Definimos la malla para pintar funciones del [-1,1]
x = linspace(-1, 1, 1000);  
n_max = 5;                  % Número de funciones a pintar para seno y coseno

% Pintamos la gráfica de f = 1/2
figure;
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 1, 'DisplayName', '1/2');
hold on;

% Pintamos cos(n*pi*x) y sin(n*pi*x) para n = 1 hasta n_max
for n = 1:n_max
    % Definimos las funciones
    f_cos = cos(n * pi * x);
    f_sin = sin(n * pi * x);
    
    plot(x, f_cos, 'LineWidth', 1, 'DisplayName', sprintf('cos(%d\\pi x)', n));
    
    plot(x, f_sin,'--', 'LineWidth', 1, 'DisplayName', sprintf('sin(%d\\pi x)', n));
end

% Ponemos leyenda en la gráfica
title(sprintf('Base \\{1/2, cos(n\\pi x), sin(n\\pi x)\\} para n = 1 ... %d', n_max));
xlabel('x');
ylabel('Valor de la función');
legend('show', 'Location', 'BestOutside'); 
grid on;
axis([-1 1 -1.5 1.5]);

hold off;

3 Aproximación de una función continua

Vamos a aproximar la función \( f(x) = 1 - 2 \left| \frac{1}{2} - x \right| \).

En primer lugar, extendemos de forma impar la función al intervalo simétrico \([-1,1]\). Obtenemos entonces \( f_{\text{ext}}(x) = \operatorname{sign}(x) \cdot \left(1 - 2 \left| \frac{1}{2} - |x| \right| \right). \) Es decir,

[math] f_{\text{ext}}(x) = \begin{cases} -(1 - 2 | \frac{1}{2} - |x| |), & \text{si } x \in [-1,0) \\ 1 - 2 \left| \frac{1}{2} - x \right|, & \text{si } x \in [0,1]. \end{cases} [/math]

Ahora debemos comprobar que la función es continua. En el dominio \( [-1,0) \cup (0,1] \), es continua por estar definida como una función continua. Falta por ver que es continua en \( x = 0 \): \( f_{\text{ext}}(0) = 0. \)

Calculamos los límites laterales: [math] \lim_{x \to 0^-} f_{\text{ext}}(x) = -1 + 1 = 0, \hspace{30px} \lim_{x \to 0^+} f_{\text{ext}}(x) = 1 - 1 = 0. [/math]

Dado que los límites laterales coinciden con \( f_{\text{ext}}(0) \), concluimos que la función es continua en todos los puntos.

Ahora para la representación, con las fórmulas que hemos calculado arriba, calculamos los coeficientes de Fourier:

[math] d_0 = \int_{-1}^{1} f_{\text{ext}}(x) \frac{1}{2} \, dx , \hspace{30px} d_n = \int_{-1}^{1} f_{\text{ext}}(x) \cos(n\pi x) \, dx , \hspace{30px} c_n = \int_{-1}^{1} f_{\text{ext}}(x) \sin(n\pi x) \, dx . [/math]

Como los coeficientes \( d_0 \) y \( d_n \) son integrales de una función impar sobre un intervalo simétrico, sabemos que se anulan. Por tanto, la función nos va a quedar como una combinación lineal de los coeficientes \( c_n \), es decir:

[math] f_{\text{ext}}(x) \approx \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin(n\pi x). [/math]

Definimos \( f_n(x) \) como la suma de los primeros \( n \) términos de la serie de Fourier:

[math] f_{\text{ext}}(x) = \sum_{n=1}^{n} b_n \sin(n\pi x), \hspace{2mm} \text{con} \hspace{2mm} b_k = 2\int_{0}^{1} f(x)\sin{(k\pi x)} \,dx . [/math]

A continuación, representamos gráficamente \( f(x) \) y \( f_n(x) \) para \( n=1,5,10 \). Nótese que aumentar el número de términos de la serie de Fourier permite aproximar mejor la función original. Los coeficientes de Fourier se obtienen numéricamente resolviendo las integrales usando la fórmula del trapecio con una división bastante fina \( (10^{-3}) \) con la función \( trapz \) que proporciona MatLab.

%Escribimos la función original definida en el intervalo [0,1]:
f=@(x)1-2*abs(1/2-x);
%Modificamos la función para que sea impar en el intervalo [-1,1]
f_ext=@(x)sign(x).*(1-2*abs(1/2-abs(x)));

%Graficamos la función estendida de forma impar
hold on
xx=linspace(-1,1,10000);
plot(xx,f_ext(xx))
%Modificamos los colores de las gráficas para que se vean mejor
newcolors = [0.83 0.14 0.14
             1.00 0.54 0.00
             0.47 0.25 0.80
             0.25 0.80 0.54];         
colororder(newcolors)

%Ahora, vamos a calcular los coeficientes de la serie de Fourier empleando la fórmula del trapecio. 
n=[1 5 10];
N=1000;                       %Número de puntos
a=0; b=1;                     %Extremos de los intervalos
h=(b-a)/N;                    %Tamaño de los intervalos
u=a:h:b;                      %Puntos de la partición
for i=1:length(n) 
    SF=0
    for k=1:n(i)
        c_n=zeros(1,n(i));
        c=(2.*f(u).*sin(k.*pi.*u))';  %Función a integrar
        w=ones(N+1,1);                %Vector de pesos 
        w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
        c_n(k)=h*w'*c;                %Coeficientes de la serie de Fourier
        SF=SF+c_n(k)*sin(k*pi*xx);    %Vamos calculando la propia serie
    end
    plot(xx,SF)                      %Graficamos la serie de Fourier para un n determinado
end
hold off

Para hacer un estudio completo de las aproximaciones, vamos a representar el error de \( f_n(x) \) respecto a \( f(x) \) en función de \( n \). Para calcular este error, vamos a emplear tanto la norma \( L^2 \) como la del supremo o uniforme.

a=0; b=1;                    
u_1=a:10^(-3):b; 
N=length(u_1)-1;
h=(b-a)/N;

%Definir la función f(x)
f = @(x) 1 - 2*abs(1/2 - x);

% Pesos para la integración con la regla del trapecio
w=ones(N+1,1);              
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;

% Inicialización de los errores
error1 = zeros(1,300);
error2 = zeros(1,300);

for n=1:300
    f_n=zeros(1,N+1); % Aproximación con n términos
    for k=1:n
        g=(f(u_1).*sin(k*pi*u_1))'; 
        a_k=2*h*w'*g; % Coeficiente de Fourier
        f_n=f_n+a_k*sin(k*pi*u_1); % Suma de términos
    end

    % Cálculo de errores
    g1=abs(f(u_1)-f_n).^2;
    error1(n)=(h*w'*g1')^(1/2); % Norma L^2
    error2(n)=max(abs(f(u_1)-f_n)); % Norma suprema
end

% Graficar errores con escala logarítmica en el eje y
nn=1:300;
hold on
plot(nn,error1,'b',LineWidth=1.5)
plot(nn,error2,'r',LineWidth=1.5)
xlabel('Valor de n')
ylabel('Error en escala logarítmica')
title('Errores en las normas L^2 y uniforme')
legend('Error en la norma $L^2$', 'Error en la norma uniforme')
grid on
set(gca, 'YScale', 'log') % Escala logarítmica en el eje y
ylim([1e-6 1]) % Límites del eje y

4 Aproximación de una función discontinua

Ahora, vamos a aproximar la función \( f(x) = 1_{x \leq 1/4}(x) \).

A diferencia del caso anterior, extendemos la función de forma par al intervalo \([-1,1]\), obteniendo:

[math] f_{\text{ext}}(x) = \begin{cases} 1, & \text{si } x \in [-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}] \\ 0, & \text{si } x \in [-1,-\frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4},1]. \end{cases} [/math]

Observamos que la función posee dos discontinuidades, en \( x = -\frac{1}{4} \) y \( x = \frac{1}{4} \). Sin embargo, por la condición de Dirichlet, puesto que el número de discontinuidades es finito y la función es monótona a trozos, podemos hacer su transformada de Fourier.

Como en este caso la función es par, su serie de Fourier es una combinación lineal de \( \{\frac{1}{2}, cos(n\pi x)\}_{n\in\mathbf{N}} \). Los coeficientes \( c_n \) se anulan al ser la integral de una función impar sobre un intervalo simétrico:

[math] f_{\text{ext}}(x) \approx d_0 +\sum^{\infty}_{n=1} d_ncos(n\pi x) [/math]

Al representar \( f(x) \) y \( f_{n}(x) \) para \( n=\{1,...,10 \}\), observamos que aparecen unas oscilaciones llamadas el fenómeno de Gibbs.

clear all
close all
F=@(x) 1.*(x<=1/4);
g=@(x) F(-x);
xx=linspace(-1,1,10000);
fplot(F,[0 1],'b','linewidth',1.5)
hold on
fplot(g,[-1 0],'b','linewidth',1.5)
%Modificamos los colores de las gráficas para que se vean mejor
newcolors = [0.83 0.14 0.14
             1.00 0.54 0.00
             0.47 0.25 0.80
             0.25 0.80 0.54];         
colororder(newcolors)

%Ahora, vamos a calcular los coeficientes de la serie de Fourier empleando la fórmula del trapecio. 
n=1:1:10;
N=1000;                       %Número de puntos
a=0; b=1;                     %Extremos de los intervalos
h=(b-a)/N;                    %Tamaño de los intervalos
u=a:h:b;                      %Puntos de la partición
w=ones(N+1,1);                %Vector de pesos 
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
d_0=0; d0=(2.*F(u).*(1/2))';
d_0=h*w'*d0;
SF=zeros(length(n),length(xx))+ones(length(n),length(xx))*d_0;
for i=1:length(n) 
    for k=1:n(i)
        d_n=zeros(1,n(i));
        c=(2.*F(u).*cos(k.*pi.*u))';  %Función a integrar
        d_n(k)=h*w'*c;                %Coeficientes de la serie de Fourier
        SF(i,:)=SF(i,:)+d_n(k)*cos(k*pi*xx); %Vamos calculando la serie para cada n y la guardamos en la fila n de SF
    end
    plot(xx,SF(i,:))                  %Graficamos la serie de Fourier para un n determinado
end
hold off

Para suavizarlas utilizamos las sumas de Cesàro:

[math] S_N = \frac{1}{n+1} \sum^{N}_{n=0}f_n(x). [/math]

Podemos representarlas gráficamente para un n dado:

clear all
close all
F=@(x) 1.*(x<=1/4);
g=@(x) F(-x);
xx=linspace(-1,1,10000);
fplot(F,[0 1],'b','linewidth',1.5)
hold on
fplot(g,[-1 0],'b','linewidth',1.5)
%Modificamos los colores de las gráficas para que se vean mejor
newcolors = [0.83 0.14 0.14
             1.00 0.54 0.00
             0.47 0.25 0.80
             0.25 0.80 0.54];         
colororder(newcolors)

%Ahora, vamos a calcular los coeficientes de la serie de Fourier empleando la fórmula del trapecio. 
n=1:1:100;
N=1000;                       %Número de puntos
a=0; b=1;                     %Extremos de los intervalos
h=(b-a)/N;                    %Tamaño de los intervalos
u=a:h:b;                      %Puntos de la partición
w=ones(N+1,1);                %Vector de pesos 
w(1)=1/2; w(N+1)=1/2;
d_0=0; d0=(2.*F(u).*(1/2))';
d_0=h*w'*d0;
SF=zeros(length(n),length(xx))+ones(length(n),length(xx))*d_0;
for i=1:length(n) 
    for k=1:n(i)
        d_n=zeros(1,n(i));
        c=(2.*F(u).*cos(k.*pi.*u))';  %Función a integrar
        d_n(k)=h*w'*c;                %Coeficientes de la serie de Fourier
        SF(i,:)=SF(i,:)+d_n(k)*cos(k*pi*xx); %Vamos calculando la serie para cada n y la guardamos en la fila n de SF
    end
end
SNs=zeros(1,length(xx));              %Calculamos las sumas de Cesàro
for i=1:length(n)
    SNs=SNs+SF(i,:);
end
SN=1/(length(n)+1)*SNs;
plot(xx,SN)                           %Graficamos la aproximación obtenida.
hold off

Falta comparar el error de ambas aproximaciones.