Series de Fourier (Grupo GIXP)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Series de Fourier. Grupo GIXP |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Gonzalo Garelly
Israel López Francisco Lavao Paula León |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Una serie de Fourier (en honor al matemático Jean-Baptiste Joseph Fourier) consta de una suma infinita de funciones sinusoidales definidas en un dominio [math] \Omega \subseteq \mathbb{R}^n [/math] que convergen en mínimos cuadrados a una cierta función [math] f(x) [/math]. En el ámbito del análisis funcional, las series de Fourier son una poderosa herramienta capaz de descomponer cualquier función periódica definida sobre un cierto dominio como una combinación lineal de infinitas funciones sinusoidales. Poseen numerosas aplicaciones en física e ingeniería, relacionadas con el procesamiento de señales acústicas, análisis vibratorio y compresión de datos, entre otras.
En el espacio de Hilbert [math] L^2([-T,T]) = \{f : [-T,T] \rightarrow \mathbb{R} : \int_{-T}^{T} |f(x)|^2 \, dx \lt \infty\} [/math] se define un producto escalar [math] \langle f_1, f_2 \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot g(x) \, dx[/math], las funciones sinusoidales forman una base ortonormal
[math] B = \Biggl\{ \dfrac{1}{\sqrt{2T}}\Biggr\} \cup \Biggl\{ \dfrac{1}{\sqrt{T}} \cdot \cos{\left( \dfrac{n \pi x}{T}\right)} \Biggr\}_{n \in \mathbb{N}} \cup \Biggl\{ \dfrac{1}{\sqrt{T}} \cdot \sin{\left( \dfrac{n \pi x}{T}\right)} \Biggr\}_{n \in \mathbb{N}} [/math],
y una función [math] f(x) [/math] se descompone como
[math] f(x) \sim \dfrac{d_0}{\sqrt{2T}} + \sum^{\infty}_{n=1} d_n \cdot \cos{\left( \dfrac{n \pi x}{T}\right)} + \sum^{\infty}_{n=1} c_n \cdot \sin{\left( \dfrac{n \pi x}{T}\right)} [/math],
donde
- [math] d_0 = \bigl \langle f, \dfrac{1}{\sqrt{2T}} \bigr \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2T}} \, dx [/math]
- [math] d_n = \bigl \langle f, \cos{\left( \dfrac{n \pi x}{T}\right)} \bigr \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \cos{\left( \dfrac{n \pi x}{T}\right)} \, dx [/math]
- [math] c_n = \bigl \langle f, \sin{\left( \dfrac{n \pi x}{T}\right)} \bigr \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \sin{\left( \dfrac{n \pi x}{T}\right)} \, dx [/math].
Para hacerlo más ilustrativo, mostremos en una gráfica los 10 primeros términos de la base trigonométrica mencionada para el intervalo [-1,1].
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import seaborn as sns
# Definir el intervalo x en [-1,1]
x = np.linspace(-1, 1, 500)
# Colores pastel
colors = sns.color_palette("husl", 10)
# ---- 1. Función constante ----
plt.figure(figsize=(6, 4))
plt.plot(x, np.full_like(x, 0.5), color=colors[0], linewidth=2, label=r"$\frac{1}{2}$")
plt.xlabel("$x$")
plt.ylabel("$f(x)$")
plt.title("Función constante de la base de Fourier")
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()
# ---- 2. Gráfica de los primeros 10 términos de cos(nπx) ----
plt.figure(figsize=(8, 5))
for n in range(1, 11):
plt.plot(x, np.cos(n * np.pi * x), color=colors[n-1], linewidth=2, label=rf"$\cos({n}\pi x)$")
plt.xlabel("$x$")
plt.ylabel("$\cos(n\pi x)$")
plt.title("Primeros 10 términos de $\cos(n\pi x)$")
plt.legend(loc="upper right", fontsize=8)
plt.grid()
plt.show()
# ---- 3. Gráfica de los primeros 10 términos de sin(nπx) ----
plt.figure(figsize=(8, 5))
for n in range(1, 11):
plt.plot(x, np.sin(n * np.pi * x), color=colors[n-1], linewidth=2, label=rf"$\sin({n}\pi x)$")
plt.xlabel("$x$")
plt.ylabel("$\sin(n\pi x)$")
plt.title("Primeros 10 términos de $\sin(n\pi x)$")
plt.legend(loc="upper right", fontsize=8)
plt.grid()
plt.show()1 Aproximación de una función continua
Las series de Fourier también pueden aplicarse sobre intervalos no simétricos, aunque eso conlleva dar una extensión de la función que se busca aproximar de forma par, tal que [math] f(x) = f(-x) [/math] o impar, tal que [math] f(x) = - f(-x)[/math]. Como ejemplo, aproximaremos la función [math] f(x) = 1 - 2\left| \frac{1}{2} - x \right| [/math] definida en el intervalo [math] [0,1] [/math], cuya extensión impar se define como
[math]
f^{*}(x) =
\begin{cases}
f(x), & x \in [0,1] \\
- f(-x), & x \in [-1,0)
\end{cases}
[/math]
manteniendo la continuidad de la función en [math] x = 0 [/math]. Los coeficientes de la serie de Fourier son
- [math] d_0 = \bigl \langle f^{*}, \dfrac{1}{\sqrt{2}} \bigr \rangle = \int_{-1}^{1} f^{*}(x) \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} \, dx [/math]
- [math] d_n = \bigl \langle f^{*}, \cos{\left( n \pi x \right)} \bigr \rangle = \int_{-1}^{1} f^{*}(x) \cdot \cos{\left( n \pi x \right)} \, dx [/math]
- [math] c_n = \bigl \langle f^{*}, \sin{\left( n \pi x \right)} \bigr \rangle = \int_{-1}^{1} f^{*}(x) \cdot \sin{\left( n \pi x \right)} \, dx [/math]
Dado que los coeficientes [math] d_0 [/math] y [math] d_n [/math] son el resultado de la integral de una función impar [math] f^{*}(x) [/math] multiplicada por funciones pares (como la función constante o las funciones asociadas a los cosenos) en un intervalo simétrico, obtenemos que estos términos se anulan, es decir
[math] d_0 = 0, \quad d_n = 0, \quad \forall n \in \mathbb{N}. [/math]
Por lo tanto, la serie de Fourier queda expresada únicamente en términos de senos:
[math] f^{*}(x) \sim \sum^{\infty}_{n=1} c_n \cdot \sin{\left( n \pi x \right)}. [/math]
A continuación, se muestra la suma de los primeros términos de la serie de Fourier de [math] f^{*}(x) [/math] junto a esta función para comparar su similitud. Los coeficientes de la serie han sido calculados mediante la fórmula del trapecio con una partición uniforme de malla [math] 10^{-3} [/math] del intervalo [math] [-1,1] [/math].
.png)
% Definición de la función f(x)
f = @(x) 1 - 2*abs(1/2 - x); % Función f(x) en [0,1]
fext = @(x) sign(x).*(1 - 2*abs(1/2 - abs(x))); % Extensión impar de f(x) en [-1,1]
% Intervalo y parámetros
a = -1; b = 1; % Extremos del intervalo [-1,1]
h = 1e-3; % Discretización
XX = linspace(a, b, (b - a) / h); % Linspace de 2000 puntos en [-1,1]
% Términos de la serie de Fourier (n = 1, 5, 10)
nn = [1, 5, 10];
% Colores para cada valor de n
colors = ['b', 'g', 'r'];
% Crear una sola figura con 3 subgráficas (una debajo de la otra)
figure('Position', [100, 100, 800, 900]) % Aumenta el tamaño de la figura
% Para cada valor de n (1, 5, 10)
for j = 1:length(nn)
n = nn(j); % Número de términos de la serie
s = zeros(1, length(XX)); % Inicializar la serie de Fourier
% Cálculo de los coeficientes de Fourier
for k = 1:n
% Definimos los puntos en [0,1] para la regla del trapecio
u = linspace(0, 1, 1000); % Malla de puntos para la integral
w = ones(size(u)); % Pesos para el trapecio
w(1) = 1/2; % Pesos de los extremos
w(end) = 1/2;
% Aproximación de la integral usando trapecio
integrand = f(u) .* sin(k * pi * u); % Producto f(x) * sin(k*pi*x)
ak = 2 * trapz(u, integrand .* w); % Coeficiente de Fourier a_k
% Sumar el término de la serie
s = s + ak * sin(k * pi * XX); % Sumar el término k-ésimo
end
% Crear subgráficas para cada n, una debajo de la otra
subplot(3, 1, j)
hold on; grid on;
plot(XX, fext(XX), 'k', 'LineWidth', 2) % Función extendida en negro
plot(XX, s, colors(j), 'LineWidth', 2) % Serie de Fourier aproximada con color distinto
title(['Aproximación de Fourier con n = ', num2str(n)], 'FontSize', 16)
% Leyenda con texto más pequeño
legend('Extensión impar de f(x)', 'Serie de Fourier de f(x)', 'Location', 'southeast', 'FontSize', 10)
xlabel('x', 'FontSize', 14)
ylabel('f(x) y Serie de Fourier', 'FontSize', 14)
end
.png)
También hemos calculado el error en norma \( L^2 \) y en norma uniforme para distintas \( n \) y así hacernos una idea de la función que siguen los errores de este método en función de \( n \).
Hemos estimado que siguen la función \( e^{-\alpha n} \), con \( \alpha > 1 \).
2 Base trigonométrica compleja
Se puede definir el conjunto de funciones que toman valores complejos y cuyo modulo al cuadrado es integrable.
[math] L^2( \Omega ) = \left\{ f: \mathbb{R} \to \mathbb{C} \ | \ \int_{\Omega} \left| f(x) \right|^2 \lt +\infty \, dx \right\} [/math].
Este conjunto tiene estructura de espacio vectorial y admite un producto escalar [math] \bigl \langle f, g \bigr \rangle_{\Omega} = \int_{\Omega} f(z) \overline{g(z)} \, dx [/math] dotándole de una estructura de espacio de Hilbert.
En esta sección se desarrollará una serie de Fourier para aproximar una función que toma valores complejos. La función a aproximar es
[math] f(x) = 4x \left( \frac{1}{2} - x \right)^2 + ix [/math]
definida en el intervalo [math] [0,1] [/math]. Nótese que la función que se está estudiando es analítica en todo su dominio, por lo tanto, coincide con su serie de Fourier.
El objetivo es expresar la función como combinación lineal de elementos de una base del espacio. En particular, la base trigonométrica de [math] L^2(0,1) [/math] es
[math] B_{\mathbb{C}} = \left\{e^{2\pi ikx}\right\}_{k \in \mathbb{Z}} [/math]
y será la que se usará para desarrollar la serie de Fourier.
Los coeficientes de la serie de Fourier se calculan de la siguiente manera:
- [math] z_k = \bigl \langle f, e^{2\pi ikx} \bigr \rangle_{L^2} = \int_{0}^{1} f(x) \cdot e^{2\pi ikx} \, dx, \quad \forall k \in \mathbb{Z} [/math]
Por lo tanto, la serie de Fourier queda expresada únicamente en términos de exponenciales complejas:
[math] f(x) \sim \sum^{+\infty}_{k=-\infty} z_k \cdot e^{2\pi ikx} [/math]
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import quad
# Definir la función a aproximar
def f(x):
return 4*x*(0.5 - x)**2 + 1j*x
# Calcular coeficientes de Fourier en la base {e^(i 2πnx)}
def fourier_coefficient(n):
integrand = lambda x: f(x) * np.exp(-1j * 2 * np.pi * n * x)
real_part, _ = quad(lambda x: integrand(x).real, 0, 1)
imag_part, _ = quad(lambda x: integrand(x).imag, 0, 1)
return real_part + 1j * imag_part # Devolver coeficiente complejo
# Aproximar la función con los primeros N términos
def fourier_approx_real(x, N):
S_N = sum(fourier_coefficient(n) * np.exp(1j * 2 * np.pi * n * x) for n in range(-N, N+1))
return S_N.real # Tomamos la parte real de la serie de Fourier
def fourier_approx_imag(x, N):
S_N = sum(fourier_coefficient(n) * np.exp(1j * 2 * np.pi * n * x) for n in range(-N, N+1))
return S_N.imag # Tomamos la parte imaginaria de la serie de Fourier
# Valores de x para la gráfica
x_vals = np.linspace(0, 1, 500)
f_real_vals = np.array([f(x).real for x in x_vals])
f_imag_vals = np.array([f(x).imag for x in x_vals])
# Aproximaciones con distintos N
N_values = [5, 10, 20]
# Parte Real
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x_vals, f_real_vals, label='Función Original', linewidth=2, color='black')
for N in N_values:
approx_vals = np.array([fourier_approx_real(x, N) for x in x_vals])
plt.plot(x_vals, approx_vals, label=f'Aproximación con {N} términos')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Re f(x)')
plt.title('Aproximación de Fourier de f(x) - Parte real')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()
# Parte Imaginaria
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x_vals, f_imag_vals, label='Función Original', linewidth=2, color='black')
for N in N_values:
approx_vals = np.array([fourier_approx_imag(x, N) for x in x_vals])
plt.plot(x_vals, approx_vals, label=f'Aproximación con {N} términos')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Im f(x)')
plt.title('Aproximación de Fourier de f(x) - Parte imaginaria')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()
