Series de Fourier (Grupo CJMAS)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Series de Fourier. Grupo CJMAS |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía De Benito Valdueza |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Introducción
Las series de Fourier son una idea revolucionaria, propuesta por Jean-Baptiste Joseph Fourier, que permite descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, permiten descomponer una función en una serie infinita de términos trigonométricos, lo que facilita su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.
Dado un espacio de Hilbert \( L^2([-π,π]) \), podemos representar cualquier función en este espacio mediante una base ortogonal de funciones trigonométricas. La serie de Fourier de una función \( f(x) \) se expresa como:
[math] f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(n x) + b_n \sin(n x) \right) [/math]
donde los coeficientes \(a_0\), \(a_n\) y \(b_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:
[math] a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx [/math]
[math] a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(n x) dx [/math]
[math] b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(n x) dx [/math]
Esta descomposición no se limita únicamente al intervalo \([−\pi,\pi]\), sino que puede extenderse a otros intervalos mediante un cambio de variable adecuado.
2 Base trigonométrica
En general, en el espacio \(L^2[-T, T]\) con \(T \in \mathbb{R}^+\), la base trigonométrica ortogonal está dada por:
[math] B=\{\frac{1}{\sqrt{2T}}\}\cup\{\frac{1}{\sqrt{T}}cos(\frac{\pi n x}{T}), \frac{1}{\sqrt{T}}sen(\frac{\pi n x}{T})\}_{n\in\mathbb{N} } [/math]
Ahora consideremos un intervalo el cual no esté centrado, supongamos que queremos trabajar con la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, vamos a definir \(T\) como sigue:
[math] T=\frac{b-a}{2}= \frac{3-(-2)}{2}=\frac{5}{2} [/math]
Dado que la base trigonométrica estándar está definida para intervalos simétricos \( [-T, T] \), realizamos un cambio de variable que nos permita trasladar el intervalo de definición de \( f(x) \) a la forma adecuada. Para ello, reemplazamos \( x \) por \( x+2 \), lo que nos lleva a la siguiente base adaptada:
[math] B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\} \cup \left\{ \frac{1}{\sqrt{5/2}} \cos\left(\frac{2\pi n (x+2)}{5}\right), \quad \frac{1}{\sqrt{5/2}} \sin\left(\frac{2\pi n (x+2)}{5}\right) \right\}_{n\in \mathbb{N}}. [/math]
