El vórtice de Rankine (grupo 34)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	El vórtice de Rankine (Grupo 34)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Raquel Arévalo Manso Lidia Colado Marco Rebeca Gutiérrez Villa Gabriel Bizzarri Pirela
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

El modelo de vórtice de Rankine se diseñó inicialmente como una herramienta para simplificar el estudio de los fluidos rotatorios, tanto en fenómenos naturales como en aplicaciones de ingeniería. Este modelo idealizado, concebido para describir estructuras circulares con una rotación claramente definida en su interior, ha encontrado un amplio uso en la investigación de vórtices complejos. Ejemplos destacados incluyen su aplicación en el análisis de tornados, remolinos de polvo y ciertos tipos de huracanes, donde proporciona una representación práctica de su dinámica interna.

Los vórtices reales suelen tener núcleos pequeños donde la vorticidad se concentra, mientras que el flujo fuera de este núcleo es casi irrotacional. No obstante, el núcleo usualmente no presenta una forma circular, y la vorticidad no es uniforme. Por ello, el vórtice de Rankine se considera únicamente un modelo simplificado de los vórtices que se observan en la naturaleza.

2 Campo de velocidades

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del vórtice y la región exterior. Para un vórtice con ojo de radio [math]\text{R}[/math] y circulación máxima [math]\Gamma[/math], el campo de velocidad se define en coordenadas cilíndricas [math](r, θ, z)[/math] como [math]\overrightarrow{V}=v_{r}\overrightarrow{e}_{r}+v_{\theta}\overrightarrow{e}_{\theta}+v_{z}\overrightarrow{e}_{z}[/math], donde:

[math]\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0,\qquad v_{\theta}= \left\{ \begin{array}{cl}\frac{\Gamma}{2\pi R}r\quad si\quad r\le R,\\\ \frac{\Gamma}{2\pi r}\quad\ si\quad r\le R,\end{array} \right.\qquad v_{z}=0,[/math]

Para su representación basta con emplear un plano paralelo al suelo, ya que la velocidad depende únicamente de el radio y solo tiene componente en [math]\overrightarrow{e_{\theta}}[/math], por lo que es la misma para todos los valores de z. El vórtice de Rankine combina dos comportamientos:

-Región central (núcleo sólido): Aquí, el fluido rota como un cuerpo sólido, lo que significa que la velocidad aumenta linealmente con el radio(hasta 𝑟=𝑅). La presión disminuye de manera parabólica hacia el centro debido al equilibrio entre las fuerzas centrífugas y las presiones internas.

-Región periférica (vórtice potencial): Fuera del núcleo (𝑟>𝑅), la velocidad decrece inversamente proporcional al radio (𝑣∼1/𝑟). En esta región, la presión también disminuye hacia el centro, pero el gradiente de presión es menos pronunciado comparado con el núcleo sólido.

El comportamiento característico es:

Mayor caída de presión en el núcleo sólido (donde la velocidad crece rápidamente). Menor caída de presión en la periferia (donde la velocidad decrece). Esto resulta en un campo de presión continuo, pero con diferentes tasas de cambio en las dos regiones.

%Inspirado en el Tornado Bridge Creek–Moore%
R= 0.300; %km%  
Vo = 360; %km/h%  
Gamma=2*pi*R*Vo;n=50;
[r,theta ]=meshgrid(linspace(0,2*R, n), linspace(0, 2*pi, n));
x = r .* cos(theta);
y = r .* sin(theta);
u=zeros(size(x));v=zeros(size(x));uu=zeros(size(x));vv=zeros(size(x));
for i=1:n
    for j=1:n
        if r(i,j)<=R
    u(i,j) = -Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
    v(i,j) = Gamma.*(r(i,j)/(2*pi*R)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
        else 
    uu(i,j) = -Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*sin(theta(i,j)); % x componente del campo vectorial
    vv(i,j) = Gamma./(r(i,j).*(2*pi)).*cos(theta(i,j)); % y componente del campo vectorial
        end
    end
end
axis equal;
quiver(x, y, u, v,"r")
hold on
quiver(x, y, uu, vv,"b")
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Tornado Bridge Creek–Moore)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
hold off

Campo de Velocidades del Tornado Bridge

3 Divergencia y rotacional del campo de velocidades

La divergencia del velocidad es nula en todos los puntos del espacio, ya que [math]\frac{1}{r}·\left\{ \frac{\partial }{\partial \theta} \left( \frac{Γ}{2πR^{2}}r\right) \right\}=0[/math].

Este valor refleja la velocidad es contante para todos los puntos.

El rotacional es constante para los puntos que cumplen [math] r\le R[/math] y nula para todos los puntos que cumplen [math]r\gt R[/math].

[math]\nabla\times \overrightarrow{v}\left( r,\theta,z \right)=\frac{1}{r}\begin{vmatrix} \overrightarrow{e_{r}} & r\overrightarrow{e_{\theta}} & \overrightarrow{e_{z}} \\ \frac{\partial }{\partial r} & \frac{\partial }{\partial \theta} & \frac{\partial }{\partial z} \\ u_{r} & ru_{\theta} & u_{z} \end{vmatrix} = \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} \frac{\Gamma}{\pi R^{2}}\ &\overrightarrow {e_{z}} \quad \text{si} \quad r \le R\\ 0\ &\overrightarrow{e_{z}} \quad \text{si} \quad r \gt R \end{aligned} \right. \end{equation} [/math]

Este cálculo nos indica que los puntos fuera del ojo rotan alrededor del eje de simetría pero no sobre sí mismos, si por ejemplo tuviéramos una barca en la parte exterior del ojo del vórtice, siempre apuntaría a la misma dirección, es el mismo movimiento que siguen las cabinas de una noria. Mientras que los puntos dentro del ojo rotan tanto alrededor del eje de simetría como sobre sí mismos con un valor constante, por lo que si la barca estuviese en del ojo, sí que cambiaría su orientación. Esto se debe a que la viscosidad del fluido aumenta dentro del ojo, y hace que los puntos se comporten como un sólido rígido girando sobre sí mismo, y fuera del ojo, a pesar de girar alrededor de él, la viscosidad permite que mantengan su dirección.

4 Ojo del vórtice

Cuando una barca se encuentra en el ojo de un vórtice, lo que sucede depende de la exactitud de su ubicación y de las fuerzas que actúan sobre ellas. Estudiaremos su comportamiento en los siguientes casos:

- Barca en el ojo del vórtice (centro) : esta parte es donde los fluidos se mantienen estáticos, es decir, no se mueven. En esta sección, el vórtice está calmado, sin la fuerza de rotación que hay en los bordes. Cuando la barca está en el centro del vórtice, no experimenta la fuerza de rotación que se encuentran en las capas externas. La barca no rota sobre si misma ni se mueve de manera circular. Así como la fuerza centrífuga se equilibra en esta región.

- Barca en la parte exterior del vórtice : cuando se encuentra en la región exterior, los fluidos se mueven con más velocidad y la situación cambia. El fluido en la periferia del vórtice tiene un movimiento de giro o rotación que provoca el arrastre de objetos en esa dirección. El fluido se mueve en espiral, y la barca también se ve arrastrada por ese movimiento. En esta región , el vórtice tiene más fuerza y la barca va a girar y moverse de acuerdo con la dirección del flujo del agua o aire. No se mantiene paralela a una dirección fija, sino que sigue la misma rotación que el vórtice, moviéndose con el flujo.

5 Campo de presiones con planos paralelos a la superficie

Se adjunta el código de Matlab que se utiliza para crear el gráfico:

"Campo de presiones"

% Parámetros
P0 = 90000;    % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225;   % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81;      % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 300;       % Radio del ojo del vórtice, en metros
v_R = 100;     % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s
z0 = 3200;     % Altura inicial, en metros

% Definición de la malla
r = linspace(0, 600, 100); % Distancia radial
z = linspace(0, 5000, 100); % Altura

% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar

% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));

% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
    if RR(i) <= R
        P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
    else
        P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
    end
end

% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');

Código para animación del campo de presiones

"Animación campo de presiones"

% Parámetros del problema
R = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z0 = 3200; % Altura máxima del vórtice (m)

% Discretización del espacio
r = linspace(0, 1000, 100); % Coordenada radial (m)
z = linspace(0, z0, 50); % Coordenada vertical (m)
[R_grid, Z_grid] = meshgrid(r, z); % Malla de coordenadas

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R_grid));
inside_eye = R_grid <= R;
outside_eye = R_grid > R;

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R) .* R_grid(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R ./ R_grid(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R_grid));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(inside_eye);
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g .* Z_grid(outside_eye);

% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
clim([min(P(:)), max(P(:))]); % Fijar límites de color

% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación

% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
    % Nivel de presión actual
    P_level = pressure_steps(p_idx);
    
    % Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
    clf; % Limpiar gráfica
    surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
    
    % Resaltar el plano de presión actual
    hold on;
    contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
    
    % Configurar el gráfico
    title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
    xlabel('r (m)');
    ylabel('z (m)');
    zlabel('Presión (Pa)');
    xlim([0, max(r)]);
    ylim([0, z0]);
    zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
    view(0, 90); % Vista 3D

    % Actualizar la gráfica
    drawnow;
    pause(0.1);
end

6 Campo del gradiente de presión

Animación que representa, para varios valores de presión, las superficies isobáricas, es decir, las superficies donde la presión se encuentra constante, con el campo de gradiente de presión superpuesto sobre ellas. Permitiendo visualizar cómo cambian las superficies y el gradiente.

"Campo de presiones"

%campo gradiente de presión y campo de presiones corte V
R=300;
Vo=100;
Gamma=2*pi*R*Vo;
n1=500;
n2=20;
rho=1.225;

r=linspace(0,1000,n1);
z=linspace(0,3200,n1);
[rr,zz]=meshgrid(r,z);
Z=zeros(size(rr));

for i=1:n1
    for j=1:n1 
        if rr(i,j)<= 300
            Z(i,j)=90000+0.5*rho*(Gamma.* rr(i,j)/(2*pi*R^2)).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
        else 
            Z(i,j)=101325-0.5*rho*(Gamma./(2*pi.* rr(i,j))).^2-rho*9.8.*(zz(i,j));
        end 
    end 
end 

[Mr,Mz]=meshgrid(linspace(0,1000,n2),linspace(0,3200,n2));
u=zeros(size(Mr));
v=zeros(size(Mr));
uu=zeros(size(Mr));
vv=zeros(size(Mr));
for i=1:n2
    for j=1:n2
        if Mr(i,j)<=R
            u(i,j)=Mr(i,j).*rho*Vo^2/(R^2);
            v(i,j)=-rho*9.8;
        else
            uu(i,j)=Mr(i,j).^(-3).* rho*(R*Vo)^2;
            vv(i,j)=-rho*9.8;
        end 
    end 
end 

pcolor(rr,zz,Z)
colormap jet
shading flat
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');
axis square
axis padded
colorbar
hold on 
quiver(Mr, Mz, u, v,"k")
axis square
quiver(Mr, Mz, uu, vv,"k")
hold off

"Campo de presiones con su gradiente"

% Parámetros del problema
R_eye = 300; % Radio del ojo del vórtice (m)
v_theta_R = 360 / 3.6; % Velocidad tangencial máxima en el borde (m/s)
P0 = 90000; % Presión en el centro del ojo (Pa)
P_inf = 101325; % Presión atmosférica estándar (Pa)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad (m/s^2)
z_const = 1600; % Altura constante del plano (m)

% Discretización del espacio en coordenadas polares
r = linspace(0, 600, 200); % Coordenada radial (m)
theta = linspace(0, 2*pi, 360); % Coordenada angular (rad)
[R, Theta] = meshgrid(r, theta); % Crear malla polar

% Convertir a coordenadas cartesianas para graficar
X = R .* cos(Theta); % Coordenada x
Y = R .* sin(Theta); % Coordenada y

% Cálculo de la velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(R));
inside_eye = R <= R_eye; % Dentro del ojo
outside_eye = R > R_eye; % Fuera del ojo

v_theta(inside_eye) = (v_theta_R / R_eye) .* R(inside_eye); % Dentro del ojo
v_theta(outside_eye) = v_theta_R * (R_eye ./ R(outside_eye)); % Fuera del ojo

% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
P(inside_eye) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(inside_eye).^2 - rho * g * z_const;
P(outside_eye) = P_inf - 0.5 * rho * v_theta(outside_eye).^2 - rho * g * z_const;

% Cálculo del gradiente de presión
[Pr, Ptheta] = gradient(P, r(2) - r(1), theta(2) - theta(1)); % Gradientes en r y theta

% Convertir el gradiente a coordenadas cartesianas
Px = Pr .* cos(Theta) - Ptheta .* sin(Theta); % Componente x del gradiente
Py = Pr .* sin(Theta) + Ptheta .* cos(Theta); % Componente y del gradiente

% Submuestreo para flechas menos densas
skip = 10; % Intervalo de puntos
X_sub = X(1:skip:end, 1:skip:end);
Y_sub = Y(1:skip:end, 1:skip:end);
Px_sub = Px(1:skip:end, 1:skip:end);
Py_sub = Py(1:skip:end, 1:skip:end);

% Gráfica del campo de presión
figure;
contourf(X, Y, P, 50, 'LineColor', 'none'); % Contorno del campo de presión
colorbar;
hold on;

% Superposición del gradiente de presión con flechas negras
quiver(X_sub, Y_sub, Px_sub, Py_sub, 'k');

% Configuración de la gráfica
title(['Campo de Presión y Gradiente en z = ', num2str(z_const), ' m']);
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
axis equal;
grid on;
hold off;

"Campo de presiones con su gradiente"

% Constantes
R0 = 300;Vo = 100;Gamma = 2 * pi * R0 * Vo;n = 100;
ngr=20;rho = 1.225;Po = 90000;P_inf = 101325;g = 9.81;
z0 = 3200;P_min = Po - rho * g * z0;P_max = Po;
x = linspace(-600, 600, n);
y = x;
z = linspace(0, 3200, n);
[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z);
xx = linspace(-600, 600, ngr);
yy = xx;
zz = linspace(0, 3200, ngr);
[XX, YY, ZZ] = meshgrid(xx, yy, zz);
R = sqrt(X.^2 + Y.^2);
RR = sqrt(XX.^2 + YY.^2);
% Cálculo de la presión
P = zeros(size(R));
for i = 1:n
    for j = 1:n
        for k = 1:n
            if R(i, j, k) <= 300
                P(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * R(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
            else
                P(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * R(i, j, k))).^2 - rho * g * Z(i, j, k);
            end
        end
    end
end
PP = zeros(size(RR));
for i = 1:ngr
    for j = 1:ngr
        for k = 1:ngr
            if RR(i, j, k) <= 300
                PP(i, j, k) = 90000 + 0.5 * rho * (Gamma * RR(i, j, k) / (2 * pi * R0^2)).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
            else
                PP(i, j, k) = 101325 - 0.5 * rho * (Gamma / (2 * pi * RR(i, j, k))).^2 - rho * g * ZZ(i, j, k);
            end
        end
    end
end
% Gradiente de presión
[Px, Py, Pz] = gradient(PP, xx(2) - xx(1), yy(2) - yy(1), zz(2) - zz(1));

% Crear figura para animación
fig = figure;

% Rango de isovalores de presión para las superficies
P_range = linspace(P_min, P_max, 20);

for k = 1:length(P_range)
    clf(fig); % Limpiar la figura
    
    % Superficie isobárica
    P_iso = P_range(k);
    isosurface(X, Y, Z, P, P_iso);
    hold on;
    
    % Filtrar gradiente cerca de la superficie isobárica
    tolerance = 1000; % Tolerancia para incluir gradiente
    mask = abs(PP - P_iso) < tolerance; % Máscara para valores cerca de P_iso
    [idx_x, idx_y, idx_z] = ind2sub(size(mask), find(mask)); % Índices válidos de la máscara

    % Extraer posiciones y componentes del gradiente
    X_sample = XX(sub2ind(size(XX), idx_x, idx_y, idx_z));
    Y_sample = YY(sub2ind(size(YY), idx_x, idx_y, idx_z));
    Z_sample = ZZ(sub2ind(size(ZZ), idx_x, idx_y, idx_z));
    Px_sample = Px(sub2ind(size(Px), idx_x, idx_y, idx_z));
    Py_sample = Py(sub2ind(size(Py), idx_x, idx_y, idx_z));
    Pz_sample = Pz(sub2ind(size(Pz), idx_x, idx_y, idx_z));

    % Superposición del gradiente
    quiver3(X_sample, Y_sample, Z_sample, Px_sample, Py_sample, Pz_sample, ...
            'r', 'LineWidth', 1.2);

    % Configuración del gráfico
    clim([P_min, P_max]); % Límites de color
    colorbar;
    axis square;
    xlim([-600, 600]), ylim([-600, 600]), zlim([0, 3500]);
    view(60, -10); % Vista 3D
    title(['Superficie Isobárica P = ', num2str(P_iso / 100), ' mbar']);
    xlabel('X (m)');
    ylabel('Y (m)');
    zlabel('Z (m)');
    pause(0.1); % Pausa entre frames
end

7 Flujos de masa en el vórtice de Rankine

[math] \Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A} [/math] =[math]\int_S \rho v_\Theta \, d\vec{A}=\Phi1 +\Phi2 [/math]

Calcular flujo en 0 ≤ r ≤ 2R, 0 ≤ z ≤ z0, con θ arbitrario

[math]\Phi = \iiint_S r \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho v_\Theta r \, dr \, dz \, d\theta[/math]

Para la región [math]0 \le r \le R[/math]

[math]\Phi1 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \, dr \, dz \, d\theta =2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{r^3}{3}\right]_0^R=2\pi z_0\rho \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\left[ \frac{R^3}{3}\right] = \frac{z_0\rho\Gamma R}{3} [/math]

Para la región [math]R \le r \le 2R[/math]

[math]\Phi_2 = \iiint_S \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi r} r \, dr \, dz \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^{z_0} \int_0^{2R} \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \, dr \, dz \, d\theta = 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ r \right]_R^{2R} \ = 2\pi z_0 \rho \frac{\Gamma}{2\pi} \left[ 2R-R \right]\ =z_0 \rho \Gamma R[/math]

[math] \Phi = \int_S \vec{F} \cdot d\vec{A} =\Phi1 +\Phi2 =\frac{z_0\rho\Gamma R}{3}+z_0 \rho \Gamma R=\frac{4}{3}z_0 \rho \Gamma R[/math]

Esta orientada positivamente, cumpliendo con la orientación prevista del diseño.

Conclusión:

El flujo positivo significa que la masa se mueve en la dirección esperada del campo de velocidades del vórtice.

El flujo total de masa Φ en un vórtice de Rankine se calcula integrando la cantidad de fluido que pasa a través de una superficie, segmentada en dos regiones:

Región central (𝑟≤𝑅): Aquí el flujo es descrito por [math]\Phi1 [/math], que se deriva del campo de velocidades dentro del núcleo sólido del vórtice.

Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅): Aquí el flujo [math]\Phi2 [/math]corresponde a la zona externa, donde el flujo tiene características de un vórtice potencial.

-Centro del vórtice (𝑟≤𝑅) En esta región:

El flujo [math]\Phi1 [/math] muestra que el comportamiento del vórtice es sólido rotacional: todas las partículas dentro del núcleo rotan en sincronía, con velocidades que aumentan linealmente con la distancia r. La contribución al flujo está dominada por el movimiento organizado del fluido en este núcleo sólido.

-Periferia (𝑅≤𝑟≤2𝑅) En esta región:

El flujo [math]\Phi2 [/math]refleja un comportamiento de vórtice potencial: la velocidad del fluido decrece inversamente con la distancia r debido al dominio del campo de presiones y las fuerzas centrífugas. Aunque hay contribución al flujo, es menor comparada con el núcleo debido a la disminución de las velocidades.

¿Qué significa el resultado total?

El resultado: [math] \frac{z_0\rho\Gamma R}{3} [/math] es una medida de la cantidad de masa que fluye a través del vórtice en función de su geometría (R,z_0) y su intensidad (Γ). Esto implica:

-Centro del vórtice: Aporta una fracción significativa del flujo debido al movimiento rotacional sólido del fluido. Encontrándose aquí la mayor parte de la masa en movimiento.

-Periferia del vórtice: Contribuye menos al flujo, pero sigue siendo importante para el equilibrio general del sistema.

Esto es crucial para aplicaciones donde la distribución del flujo afecta el comportamiento de partículas suspendidas o estructuras inmersas en el fluido, como en ciclones o sistemas industriales que usan vórtices.

8 Discontinuidad en la presión

Teóricamente la presión, al igual que la velocidad, debería ser continua.

[math] En \; r=R \\ p(r,z) = \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} &P_{0}+\frac{1}{2}\rho\left( \frac{\Gamma}{2\pi R^2} r \right)^2 -\rho g z = P_{0}+\frac{1}{2}\rho\, v_{\theta}\left( R \right)\\ &P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho \left( \frac{\Gamma}{2 \pi r} \right)^2 -\rho g z = P_{\infty} - \frac{1}{2} \rho\, v_{\theta}\left( R \right) \end{aligned} \right. \end{equation}\\[/math] Si restamos ambas ecuaciones obtenemos [math] P_{\infty} -P_{0}=\rho \, v_{\theta}^2 [/math]. Pero al sustituir con datos de vórtices reales, esta ecuación no se cumple. Por ejemplo con los datos del tornado Bridge Creek–Moore obtenemos [math] \\ 101325-90000=1.225·100^2 \Rightarrow 11325 \neq 12250 [/math]

A mayor diferencia de presión significa que existe una presión más baja en el centro del huracán (zona baja de presión) en comparación con el exterior (zona de alta presión), caracterizado por tener mayor intensidad, mayor capacidad destructiva, siendo muy peligroso.

Ejemplo de huracán: El huracán Katrina fue uno de los desastres naturales más devastadores en la historia de Estados Unidos.

     -Formación: El huracán Katrina se formó el 23 de agosto de 2005 sobre las Bahamas.
     -Pico de intensidad: Alcanzó su máxima intensidad el 28 de agosto de 2005, con vientos de hasta 280 km/h (175 mph) y una presión mínima de 902 mbar.
     -Impacto: Katrina tocó tierra por primera vez en Florida como un huracán de categoría 1, y luego se intensificó en el Golfo de México. Al tocar tierra por segunda vez el 29 de agosto de 2005, fue un huracán de categoría 3. Tras haber alcanzado la categoría 5, la tormenta se debilitó antes de tocar tierra por segunda vez como un huracán de categoría 3 el 29 de agosto en el sudeste de Luisiana. El huracán Katrina devastó las costas del golfo desde Florida a Texas debido a su intensificación. El mayor número de muertes se registró en Nueva Orleans, que quedó inundada porque su sistema de diques falló, colapsándose muchos de ellos varias horas después de que el huracán hubiese continuado tierra adentro. El 80 % de la ciudad así como grandes superficies de parroquias colindantes quedaron anegadas, manteniéndose así durante semanas.
      -Áreas afectadas: Impactó gravemente a la región del Golfo de México, especialmente a Nueva Orleans, Luisiana, Misisipi, Alabama y la costa este de Estados Unidos.
      -Consecuencias: Fue responsable de al menos 1,836 muertes y causó daños materiales estimados en 125 mil millones de dólares (2005 USD). La ciudad de Nueva Orleans sufrió inundaciones masivas debido al colapso de su sistema de diques.

9 Vórtices

Primero hablaremos de los tipos de vórtices que se pueden encontrar:

"Tipos de vórtices"

A continuación algunas similitudes y diferencias de los diversos tipo de vórtices que se presentan:

"Diferencias y similitudes de los vórtices"

En resumen:

-Similitudes:Todos los vórtices implican movimiento giratorio, conservación de momento angular y ocurren en sistemas dinámicos con gradientes significativos de propiedades (como presión, densidad o temperatura).

-Diferencias: Las principales diferencias radican en la escala (microscópica o macroscópica), el medio (gases, líquidos, campos electromagnéticos) y las fuerzas que gobiernan su dinámica (leyes clásicas o cuánticas).