La catenaria. Grupo 9

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La catenaria. Grupo 9
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Pablo Fernández Tejedor Alicia Puerta Mir Judit de la Torre Martín Francisco de Asís Álvarez Romero Julián Ulanovsky Garzón Rania Sofía Patiño Salazar
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Curva: la catenaria

La Curva "La Catenaria" se representa de la siguiente forma:

Representación gráfica de la catenaria

%Parametrización de la catenaria.
A=2;
t=linspace(-1,1,100);        %Discretización del intervalo.
xcat=t;
ycat=A*cosh(t./A);

%Representación de la curva.
plot(xcat,ycat,'r','LineWidth',1)

%Etiquetas.
title('Gráfica 1: Catenaria')
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
title('La Catenaria')
legend('Catenaria');
axis equal
grid on

3 Longitud de la curva

La integral de línea se define:

[math]\int_\gamma f \,ds=\int_{t_1 }^{t_2}f\left(\overline{\gamma}(t)\right)\left|\overline{\gamma}'(t)\right|dt[/math].

Para calcular la longitud de una curva hay que tomar el campo escalar constante:

[math]f=1[/math]

El vector velocidad (su módulo):

[math] \overline{v}(t)= \overline{\gamma}'(t)=\left( \frac{dx_1 }{dt},\frac{dx_2 }{dt}\right) [/math].

La parametrización de la catenaria:

[math] \overline{\gamma}(t)=\left( t,A\cosh\left(\frac{t}{A}\right) \right) [/math].

Por lo tanto:

[math] \overline{\gamma}'(t)=\left( 1,\sinh\left(\frac{t}{A}\right) \right)[/math]

y su módulo:

[math] \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{A}\right)}[/math]

Echando mano de la identidad hiperbólica:

[math] \cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1\to \cosh^2(x)=1+\sinh^2(x)[/math]

sabemos que:

[math] \left|\overline{\gamma}'(t) \right|=\sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)}=\cosh\left(\frac{t}{A}\right) [/math].

El intervalo dado es:

[math]t\in [t_1,t_2]=[-1,1][/math] y [math] A=2[/math]

Ya se conocen todos los datos necesarios para realizar el cálculo.

[math] \int_{-1}^{1}\left| \overline{\gamma}'(t) \right|dt=\int_{-1}^{1} \sqrt{1 + \sinh^2\left(\frac{t}{A}\right)} \, dt = \int_{-1}^{1} \sqrt{\cosh^2\left(\frac{t}{A}\right)} \, dt = \int_{-1}^{1} \cosh\left(\frac{t}{A}\right) \, dt \to 2 \int_{0}^{1} \cosh\left(\frac{t}{A}\right) \, dt = 2A \sinh\left(\frac{t}{A}\right) \bigg|_0^1 = 2A \sinh\left(\frac{1}{A}\right) \approx 2.0844[/math].

4 Vectores tangente y normal

4.1 Vector tangente

El vector velocidad indica los vectores tangentes a la trayectoria parametrizada por γ(t), por ende, para obtener los vectores tangentes unitarios se debe dividir por el módulo. \vec{t}(t) = \frac{\gamma'(t)}{\|\gamma'(t)\|} = \frac{x'(t)\vec{i} + y'(t)\vec{j}}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} = \frac{1}{\cosh\left(\frac{t}{2}\right)}\left(\vec{i} + \sinh\left(\frac{t}{2}\right)\vec{j}\right)

% Parametrización de la curva catenaria con A = 2
t = linspace(-1, 1, 100); % Valores de t entre -1 y 1
x = t; % x(t) = t
y = 2 * cosh(t / 2); % y(t) = 2cosh(t/2)

% Vectores tangentes unitarios
t1i = (t./t)./(sqrt(1+(sinh(t/2)).^2))
t2i=sinh(t/2)./(sqrt(1+(sinh(t/2)).^2))

% Gráfica de la catenaria y los vectores tangentes
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2); % Dibuja la curva
quiver(x, y, t1i, t2i, 'r'); % Vectores tangentes
hold off

% Centrado de la gráfica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas y formato
title('Vector tangente unitario')
legend('Catenaria', 'Vectores tangentes unitarios')
axis equal
box on
grid minor

4.2 Vector normal

Los vectores normales se consiguen al rotar los vectores tangentes un ángulo determinado de \(\frac{\pi}{2}\). Esto los convierte en vectores ortogonales. Para su cálculo, se usa la matriz de rotación correspondiente al ángulo \(\theta = \frac{\pi}{2}\):

\begin{pmatrix} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) & -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \\ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) & \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'(t) \\ y'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y'(t) \\ x'(t) \end{pmatrix}.

De esta forma, el vector normal \(\vec{n}(t)\) se calcula como:

\[ \vec{n}(t) = \frac{-y'(t)\vec{i} + x'(t)\vec{j}}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}}. \]

En el caso particular de esta parametrización, el resultado es:

\[ \vec{n}(t) = \frac{1}{\sqrt{1 + \sinh^2(t)}} \left(-\sinh(t)\vec{i} + \vec{j}\right). \]

% Definición de los parámetros
a = -1; % Inicio del intervalo de t
b = 1; % Fin del intervalo de t
h = 0.09; % Incremento para t
t = a:h:b; % Vector de valores de t

% Definición de la curva
x = t; % x(t) = t
y = 2 * cosh(t / 2); % y(t) = 2cosh(t/2)
% Vectores normales unitarios orientación interior
n1i=sinh(t/2)./(cosh(t/2))
n2i=-(t./t)./(cosh(t/2))
% Vectores normales unitarios orientación exterior
n1e =-sinh(t/2)./(cosh(t/2))
n2e=(t./t)./(cosh(t/2))
% Gráfica de la catenaria y los vectores normales
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2); % Dibuja la curva
quiver(x, y, n1i, n2i, 'r'); % Vectores normales interiores
quiver(x, y, n1e, n2e, 'b'); % Vectores normales exteriores
hold off

% Centrado de la gráfica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas y formato
title('Vectores normales')
legend('Catenaria', 'Vector normal interior', 'Vector normal exterior')
axis equal
box on
grid minor

5 Curvatura

La curvatura \(\kappa(t)\) retrata cómo, en torno al punto \(\gamma(t)\), la curva se aproxima al área de circunferencia de la curvatura \(\kappa(t)\). Esto implica que evalúa el desvío de la curva en relación a ser una línea recta en cada uno de sus puntos.

Para su cálculo se utiliza la siguiente fórmula:

\[ \kappa(t) = \frac{x'(t)y(t) - x(t)y'(t)}{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}. \]

En este caso particular, el resultado es:

\[ \kappa(t) = \frac{\cosh(t) - 0 \cdot \sinh(t)}{\left(1 + \sinh^2(t)\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{\cosh(t)}{\left(1 + \sinh^2(t)\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{\cosh(t/2)}{2 \cdot \left(1 + \sinh(t/2)\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\cosh^2(t/2)}. \]

n=100;
t=linspace ( -1 , 1 , n) 
k = 1 ./ (2 .* (cosh(t / 2)).^2);
figure
plot (t ,k ,'b') ;
axis equal
title ('Curvatura k(t). ') ;
xlabel('t');
ylabel('\k(t)');
grid on

Curvatura

6 Circunferencia osculatriz

6.1 Propiedades circunferencia osculatriz

Una circunferencia osculatriz a una curva es aquella que, en un punto específico, tiene la misma curvatura que la curva y cuyo centro se sitúa en la recta normal a esta en el punto dado. En este punto y sus proximidades, la circunferencia nos proporciona una gran aproximación de la curva.

6.2 Cálculo radio y centro circunferencia osculatriz

En el caso de la catenaria [math] γ(t) [/math] siendo t=0.5 se obtiene el siguiente centro:

[math]\vec{C}(t) = \vec{\gamma}(t) + \frac{1}{\kappa(t)} \cdot \vec{n}(t)[/math] [math]=\begin{pmatrix} t \\ 2\cosh\left(\frac{t}{2}\right) \end{pmatrix} + 2\cosh^2\left(\frac{t}{2}\right) \cdot \frac{1}{\cosh\left(\frac{t}{2}\right)} \begin{pmatrix} -\sinh\left(\frac{t}{2}\right) \\ 1 \end{pmatrix}[/math]

Obteniendo:

[math]\vec{C}(0.5) = \begin{pmatrix} -0.0211 \\ 4.1256 \end{pmatrix}[/math]

Para obtener el radio de la circunferencia osculatriz, se necesita la curvatura de la catenaria calculada en el apartado anterior. Así, el radio, será la inversa de esta.

Como: [math]\kappa(t) = \frac{1}{2 \cosh^2\left(\frac{t}{2}\right)}[/math]

El radio obtenido es el siguiente:

[math]r(0.5) = \frac{1}{\kappa(0.5)} = \frac{1}{0.4700} = 2.1276[/math]

6.3 Representación gráfica circunferencia osculatriz

Circunferencia osculatriz

% Parametrización catenaria
t = linspace(-1, 1, 100);
xcat = t;
ycat = 2 * cosh(t / 2);

% Obtención radio y centro de curvatura
t_circ = 0.5;
K = 1 / (2 * (cosh(t_circ / 2))^2);
r = 1 / K; % radio
norm = (1 / (cosh(t_circ / 2))) * [-sinh(t_circ / 2), 1];
C = [t_circ, 2 * cosh(t_circ / 2)] + (1 / K) * norm; % Centro de curvatura

% Parametrización circunferencia
theta = linspace(0, 2 * pi, 100);
xcirc = C(1) + r * cos(theta);
ycirc = C(2) + r * sin(theta);

% Dibujo circunferencia y catenaria
figure;
hold on;
plot(xcirc, ycirc);
plot(xcat, ycat);
axis equal;
grid on;
xlabel('Eje x');
ylabel('Eje y');
title('Circunferencia osculatriz y catenaria');
legend('Circunferencia', 'Catenaria');
hold off;

legend(['Circunferencia', 'Catenaria']);

7 Fenómeno descrito y aplicaciones en la ingenieria

7.1 Fenómeno que describe

• 

  Representación gráfica de la curva

7.1.1 Catenaria

La ecuación general de una catenaria es y(x)=acosh⁡(x/a), donde a>0 determina la forma de la curva. En este caso, a=2, y la curva se encuentra en el intervalo restringido t∈(−1,1). Esta curva aparece cuando una cadena flexible e inextensible se suspende de manera que sus extremos están fijos en posiciones diferentes. A diferencia de una parábola, la catenaria tiene propiedades especiales relacionadas con la minimización de energía potencial.

7.1.2 Propiedades físicas

La catenaria es la solución al problema de encontrar una curva que minimice la energía potencial gravitatoria de un cable homogéneo suspendido. Tiene una relación estrecha con las superficies mínimas, ya que la revolución de una catenaria genera una superficie llamada catenoide, que es una superficie mínima.

7.2 Relevancia en ingeniería

7.2.1 Puentes colgantes y estructuras

En ingeniería civil, los cables que soportan los puentes colgantes siguen, aproximadamente, la forma de una catenaria bajo su propio peso. Ejemplos famosos son:

1. El Golden Gate Bridge en San Francisco.

• GoldenGateCatenaria.jpg

  Golden Gate

1. El Puente de Brooklyn en Nueva York.

7.2.2 Diseño arcos y cubiertas

Los arcos construidos siguiendo la forma de una catenaria son extremadamente estables bajo cargas uniformes. Esto se debe a que la curva catenaria distribuye las fuerzas de compresión de manera óptima. Por ejemplo:

1. El diseño del Arco Gateway en St. Louis, EE. UU., sigue una forma catenaria invertida.

7.2.3 Transmisión de energía

Las líneas eléctricas suspendidas entre torres de alta tensión también adoptan una forma similar a la catenaria debido a su peso y la tensión en los cables.

8 Usos en la ingeniería civil

La catenaria se utiliza en diferentes construcciones en el ámbito de la ingeniería civil.

Uno de los ejemplos más destacados son los puentes. La catenaria se emplea en los puentes colgantes cumpliendo la función del cable de donde cuelgan las péndolas que se unen al tablero del puente. Dos ejemplos de este tipo de puentes que tienen a la catenaria en su estructura son el Puente Golden Gate (California, EE.UU), y el Puente Colgante de Clifton (Inglaterra).

Otro de los ámbitos en los que se emplea esta curva es en la vías férreas. Más concretamente, en las vías electrificadas, donde cumple la función de suministrar la energía eléctrica al pantógrafo de los trenes. En dichas vías, la curva cuelga sometida a su propio peso de unas estructuras llamadas catenarias.

Puente Colgante de Clifton

Catenaria de una vía de tren.

9 Catenaria y parábola

La catenaria y la parábola son curvas que provienen de funciones completamente distintas. Pero al ser representadas podemos observar que son muy similares por la forma de "U" característica de ambas. Tan similares son que a lo largo de la historia matemáticos, físicos e ingenieros como Galileo Galilei o Leonardo da Vinci pensaban que se trataba de la misma curva. No fue hasta finales del siglo XVII, con el desarrollo del cálculo, que se consiguió hallar la ecuación de la catenaria. Los artífices del descubrimiento, además del desarrollo del cálculo, fueron los matemáticos: Wilhelm Leibniz, Johann Bernoulli y Christiaan Huygens, poniendo fin a la conjetura de la catenaria y la parábola.

9.1 Código de MATLAB

A=2;
t=linspace(-1,1,100);
f=A*cosh(t/A);
g=A+(t.^2)/(2*A);
%Declaración de Variables y funciones
gamma='Catenaria: $$ \gamma(t)= \left( t,A\cosh(\frac{t}{A}) \right)  $$ ';
delta='Parabola: $$ \delta(t)=\left( t,A+\frac{t^2}{2A} \right)  $$';
%Necesario para expresar la leyenda en LaTeX
x=plot(t,f,'color',[0.6350 0.0780 0.1840],'linewidth', 1.5);
hold on
y=plot(t,g,'color',[0 0.4470 0.7410],'linewidth', 1.5);
%grafica de las funciones a color concreto
titulo=title('Catenaria vs. Parábola');
fontsize(titulo,20,'points')
%Título
leyenda=legend(gamma,delta,'interpreter','latex','location','north');
fontsize(leyenda,12,'points')
ejex=xlabel('$$ x(t) $$', 'interpreter','latex');
fontsize(ejex,13,'points')
ejey=ylabel('$$ y(t) $$', 'interpreter','latex','rotation',0);
fontsize(ejey,13,'points')
%Leyenda y ejes escritos en LaTeX
hold off
x.MarkerFaceColor = [0.6350 0.0780 0.1840];
y.MarkerFaceColor = [0 0.4470 0.7410];
%Definición de los colores para las funciones

9.2 Gráfico

En este gráfico podemos observar la catenaria (en rojo) y la parábola (en azul). Viendo solamente la representación gráfica de ambas podemos afirmar que son extremadamente parecidas. Al menos en las condiciones dadas.

9.3 Por qué se asemejan

Visualmente las curvas se asemejan debido a su forma de "U", simetría par y que se se abren en la misma dirección. Matemáticamente es posible demostrar esta similitud mediante una serie de Taylor. Cabe resaltar que solamente en condiciones limitadas la catenaria puede aproximarse a una parábola. Esto ocurre cuando la cuerda o cable colgante es relativamente corto y la distancia entre sus extremos no es muy grande en comparación con la profundidad de la curva.

Esta observación encaja perfectamente con la catenaria dada:

[math] f(x)=A\cosh(\frac{t}{A})[/math]

y la parábola dada:

[math] g(x)=A+\frac{x^2}{2A}[/math]

Para demostrar el parecido entre las curvas vamos a usar el polinomio de Taylor:

[math] T_n(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n [/math]

Pero en este caso al trabajar en un entorno cercano al 0 vamos a trabajar solamente con los tres primeros términos. Es decir el polinomio de Taylor de orden 2:

[math] T_2(x)=\sum_{n=0}^{2}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2= [/math]

Al aplicarlo a la función de la catenaria dada:

[math] =A\cosh(0)+\frac{A}{A}\sinh(0)(x-0)+\frac{A\cosh(0)(x-0)^2}{2!A^2}=A+\frac{x^2}{2A} [/math]

Da como resultado una función idéntica a la de la parábola dada.

Si vamos un poco más allá y calculamos el polinomio de Taylor de grado 4 (no el de grado 3 ya que evaluado en 0 todas las derivadas de índice impar de la función son nulas) podemos hallar por cuanto difieren las funciones. No tiene sentido ir más allá en la serie ya que el siguiente termino tendrá un orden de magnitud de [math] -5 [/math] (cerca de [math] 10^{-5} [/math]).

[math]T_4(x)=A+\frac{x^2}{2A}+\frac{x^4}{4!A^3}= 2+\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{192}[/math]

Restamos las funciones:

[math] T_4(x)-g(x)=\frac{x^4}{192}[/math]

En el intervalo [math] x \in [-1,1] [/math] la resta toma un valor máximo de [math] \frac{1}{192}=5.2*10^{-3} [/math]. Este es un valor bastante pequeño que indica que la aproximación es buena. Por lo que queda más que demostrado que las funciones son muy parecidas en las condiciones presentadas al principio.

10 Superficie de revolución: el catenoide

10.1 Parametrización e importancia del catenoide

El catenoide es una superficie mínima o superficie minimal. Estos elementos bidimensionales tienen la propiedad de minimizan localmente su superficie, teniendo en cuenta algunas restricciones. Esto quiere decir que cualquier deformación por pequeña que sea aumentaría su superficie. Este tipo de superficies fueron propuestas en el siglo XVIII por Lagrange mediante una ecuación diferencial, pero no se probó que el catenoide pertenecía a esta familia hasta unos años más tarde.

La parametrización de la catenaria en coordenadas cartesianas en \( \mathbb{R}^3 \) es la siguiente:

[math] \gamma(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (0, \cosh(t), t), \quad t \in (-1, 1) [/math]

Para obtener la superficie, se parametriza el catenoide de la siguiente manera:

[math] \phi(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = (\cosh(u) \cdot \cos(v), \cosh(u) \cdot \sin(v), u) [/math]

10.2 Representación gráfica del catenoide

Catenoide

% Parametrización de la superficie
u=linspace(-1,1,100)
v=linspace(0,2*pi,100)
[U,V]=meshgrid(u,v)
X=cosh(U).*cos(V)
Y=cosh(U).*sin(V)
Z=U
% Dibujar la superficie de revolución
figure;
surf(X,Y,Z)
title('Superficie de Revolución de la catenaria: catenoide');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');
axis equal;
shading flat;
grid on;

10.3 Aplicaciones del catenoide en ingeniería civil

El catenoide se aplico en una gran cantidad de obras en la ingeniería civil. El hecho de que sea una superficie minima, permite reducir costos y es muy útil sobre todo en techos y membranas tensadas. Los siguientes son ejemplos de obras en las que se utilizo (en parte) esta superficie:

Puente de la Barqueta. Sevilla, España

Pabellón Philips. Bruselas, Bélgica

Parametric Lampchairs. Venecia, Italia

12 Referencias

1.https://www.youtube.com/watch?v=gWjVQXsJ9Fk. Circunferencia osculatriz.

2.https://repositorio.unican.es/xmlui/bitstream/handle/10902/22955/PerezDeDiegoBarbara-TFG-Matematicas.pdf?sequence=1. Superficies minimales.