Coordenadas cilindricas parabolicas (Grupo 36)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (grupo 36)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Miguel Fernández de soto García Rodrigo Moral Garía Jaime Gonzalez Perez Carlos Montero Quesada
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

2 Campo de posición \(\vec{r}\) en el sistema cilíndrico parabólico

Utilizamos la matriz cambio de base de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas parabólicas:

[math] \vec{r}cilíndricas parabólicas=Q^{-1}* \vec{r}cartesianas\ = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}. [/math] [math] \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}= [/math] [math] \begin{bmatrix} \frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ \frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}} \\ z \end{bmatrix}[/math]

Expresando el campo de forma vectorial: [math]\vec{r}cilíndricas parabólicas=\frac{u^3 + uv^2}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_u}+\frac{u^2v + v^3}{2\sqrt{u^2 + v^2}}\vec{e_v}+z\vec{e_z}\\[/math]

3 Gradiente del campo escalar en el sistema cilindrico parabólico

Los datos del enunciado son el campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3) = x_2\) y el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0 ,1 ,1)\).

Al inicio se debe cambiar de coordenadas el campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3) = x_2\) y el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0 ,1 ,1)\) de coordenadas cartesianas al sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas:

El campo es simplemente sustituir \(x_2=uv\) :

\(f(u, v, z)=uv\)

Para el punto se adjunta la siguiente demostracion: [math] (x_1, x_2,x_3): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = z \end{cases} \\[/math]

nombramos \(p\) y \(q\) a \(u^2 \)y a \(v^2\) respectivamente

sustituimos \(p\) y \(q\) en el sistema de ecuaciones: [math] (x_1, x_2,x_3): \begin{cases} 2x_1 =p-q (1)\\ x_2^2 = pq (2) \end{cases} [/math]

dejamos en función de \(q\) a la ecuación (1) [math]q=p-2x_1[/math]

posteriormente sustituimos esta nueva ecuacion en la ecuacion (2)

\(p^2\)-\(2x_1p\)=\(x_2^2\)

sacamos las raices de \(p\):

[math]p_1=x_1+\sqrt{x_1^2+x_2^2}\\ p_2=No valida por ser negativa\\[/math] [math] (0, 1, 1): \begin{cases} u = \left (\sqrt{x_1+\sqrt{x_1+x_2}}\right) \\ v = \sqrt{-x_1+\sqrt{x_1+x_2}}\\ z = z \end{cases} \\[/math] Finalmente

[math](u, v, z) = (1 ,1 ,1).\\[/math]

[math]\textbf{Calculamos el gradiente del campo escalar:}\\[/math]

[math]\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}\vec{e_u}+ \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}\vec{e_v} + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e_z}\\[/math]

donde: [math]h_u=h_v=\sqrt{x_1^2+x_2^2} ; h_z=1\\[/math]

expresandolos en coordenadas clilindricas parabolicas serían:\\

[math] h_u=h_v= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} ; h_z=1 [/math]\\

Las derivadas parciales correspondientes serian:

\(\Large \frac{\partial f}{\partial u} \)=\(u\ ; \Large \frac{\partial f}{\partial v} \)=\(v\ ; \Large \frac{\partial f}{\partial z} \)=0

Finalmente si sustitumos el punto en el gradiente se nos quedaria la siguiente expresion:

[math]\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v}) [/math]