Coordenadas cilindricas elipticas Grupo 22
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 22) |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Marta Sanz Alejandro Hart Marcos Fernández Juan Gimeno Pau Vives |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Coordenadas Cilíndricas Elipticas
Introducción
En este trabajo estudiaremos las coordenadas cilíndricas elipticas un sistema que relaciona las coordenadas cilindricas y elipticas, es útil en problemas que involucran geometrías elípticas, como el estudio de campos de fuerza o potencial en elipses como tambien en la resolución de ecuaciones en espacios donde hay una simetría elíptica.
Estas se denotan por (q, ψ, z). Surelacion con las coordenadas cartesianas [math] (x_1, x_2, x_3) [/math] es:
[math]x_1 = aq cos ψ[/math]
[math]x_2 = bq sin ψ [/math]
[math]x_3 = z [/math]
Contenido
1 Parametrización de las líneas coordenadas
Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas cilíndricas elípticas (u,v,z) y las coordenadas cartesianas (x1,x2,x3), podemos encontrar las siguientes parametrizaciones:
- Línea coordenada \(\gamma_u\): Manteniendo \(ψ\) y \(z\) constantes, y variando \(q\):
[math]
\gamma_u: \begin{cases}
x_1 = 2qcos(ψ) \\
x_2 = 3qsen(ψ) \\
x_3 = z
\end{cases}
[/math]
Esta línea describe una recta radial en el plano z=z0 que atraviesa el origen, con un ángulo fijo ψ
- Línea coordenada \(\gamma_v\): Manteniendo \(q\) y \(z\) constantes, y variando \(ψ\):
[math]
\gamma_v: \begin{cases}
x_1 = 2qcos(ψ) \\
x_2 = 3qsen(ψ) \\
x_3 = z
\end{cases}
[/math]
Esta línea describe una elipse en el plano z=z0 con semiejes 2q y 3q
- Línea coordenada \(\gamma_z\): Manteniendo \(q\) y \(ψ\) constantes, y variando \(z\):
[math]
\gamma_z: \begin{cases}
x_1 = 2qcos(ψ) \\
x_2 = 3qsen(ψ) \\
x_3 = z
\end{cases}
[/math]
Esta línea describe una línea recta paralela al eje 𝑧 en una posición fija en el plano x1x2
1.1 Gráfica y Código MATLAB
% Parámetros
a = 2;
b = 3; e
qv = [0.5, 1, 1.5, 2];
gamma = linspace(0, 2*pi, 100);
gammaradial = [0, pi/6, pi/3, pi/2, pi];
q_max = max(gamma);
% Configuración de la figura
figure;
hold on;
grid on;
axis equal;
title('Líneas coordenadas en coordenadas cilíndricas elípticas');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
% Dibujar las elipses (líneas con q constante)
for q = qv
x1 = a * q * cos(gamma);
x2 = b * q * sin(gamma);
plot(x1, x2, 'b', 'LineWidth', 1.5);
end
% Dibujar las rectas radiales (líneas con phi constante)
for i = gammaradial
x1 = linspace(0, a * q_max * cos(i), 100);
x2 = linspace(0, b * q_max * sin(i), 100);
plot(x1, x2, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
end
% Leyenda
legend('Líneas con q constante (elipses)', 'Líneas con gamma constante (rectas)', 'Location', 'best');
hold off;
2 Expresión campos de velocidad líneas coordenadas
Obtenemos los campos de velocidad derivando las líneas coordenadas:
1. Derivada respecto a \(q\):
[math]
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2cosψ, \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3senψ, \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0, \\
\end{array}
\right.
\end{aligned}
\gamma'_q = -2senψ \vec{i} - 3senψ \vec{j}.
[/math]
2. Derivada respecto a \(ψ\):
[math]
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial ψ} = -2qsenψ, \\
\frac{\partial x_2}{\partial ψ} = 3qcosψ, \\
\frac{\partial x_3}{\partial ψ} = 0,
\end{array}
\right.
\gamma'_ψ = -2qsenψ \vec{i} - 3qsenψ \vec{j}.
\end{aligned}
[/math]
3. Derivada respecto a \(z\): [math] \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\ \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1, \end{array} \right. \gamma'_z = \vec{k}. \end{aligned} [/math]
2.1 Factores de escala (módulo)
Los factores de escala \( h_q, h_ψ, h_z \) corresponden a los módulos de los campos de velocidad:
1.
[math]
h_q = |\gamma'_q| = \sqrt{4cosψ^2 + 9senψ^2}
[/math]
2.
[math]
h_ψ = |\gamma'_ψ| = \sqrt{4qsenψ^2 + 9qcosψ^2} = q\sqrt{4senψ^2 + 9cosψ^2}
[/math]
3.
[math]
h_z = |\gamma'_z| =1
[/math]
2.2 Vector tangente
Los vectores tangentes expresados en la base física cartesiana [math] {i,j,k}[/math]:
1. [math]\mathbf{e}_q = \frac{\gamma'_q}{h_q} = \frac{1}{\sqrt{4cosψ^2 + 9senψ^2}} \left( 2cosψ, 3senψ, 0 \right)[/math]
2. [math]\mathbf{e}_ψ = \frac{\gamma'_ψ}{h_ψ} = \frac{1}{q\sqrt{4senψ^2 + 9cosψ^2}} \left( -2qsenψ, 3qcosψ, 0 \right)[/math]
3. [math]\mathbf{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \left( 0, 0, 1 \right)[/math]
2.3 Comprobación
Para comprobar que en cada punto los vectores NO forman una base ortonormal, escogemos un punto cualquiera \(\{q, ψ, z\}\) = \(\{1, π/3, 0\}\):
1. \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_ψ\) = [math]\frac{1}{\sqrt{4cosψ^2 + 9senψ^2}} \left( 2cosψ, 3senψ, 0 \right)\cdot\frac{1}{q\sqrt{4senψ^2 + 9cosψ^2}} \left( -2qsenψ, 3cosψ, 0 \right)=\frac{1}{\sqrt{4/4 + 27/4}} \left( 1, 3\sqrt{3}/2, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{3 + 9/4}} \left( -\sqrt{3}, 3/2, 0 \right)≠0[/math]
Al no cumplir la condición de ortogonalidad, podemos afirmar que los vectores no forman una base ortonormal en todos los puntos.
2.4 Gráfica
a = 2;
b = 3;
% Punto escogido q = 2, gamma = pi/2, z = 0
q = 2;
gamma = pi/2;
z = 0;
x1 = a*q*cos(gamma);
y1 = b*q*sin(gamma);
% Factores de escala
hq = sqrt((a*cos(gamma))^2 + (b*sin(gamma))^2);
hgamma = q* sqrt((a*sin(gamma))^2 + (b*cos(gamma))^2);
% Vectores tangentes en el punto escogido
eq = [a*cos(gamma)/hq, b*sin(gamma)/hq];
egamma = [-a*q*sin(gamma)/hgamma,b*q*cos(gamma)/hgamma];
% Líneas coordenadas gamma fijo
lineasgamma = [0, pi/6, pi/3, pi/2]; % Valores de psi fijos
lineasq = linspace(0, 2, 100); % Valores de q restringidos al mismo rango
% Inicializar almacenamiento para líneas coordenadas de psi
x1gammafijo = zeros(length(lineasgamma), length(lineasq));
x2gammafijo = zeros(length(lineasgamma), length(lineasq));
for i = 1:length(lineasgamma)
x1gammafijo(i, :) = a * lineasq * cos(lineasgamma(i));
x2gammafijo(i, :) = b * lineasq * sin(lineasgamma(i));
end
% Línea coordenada para q fijo (variando psi)
lineagammaqfijo = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de psi para la línea coordenada
x1qfijo = a * q * cos(lineagammaqfijo);
x2qfijo = b * q * sin(lineagammaqfijo);
% Grafico líneas coordenadas
figure;
hold on;
% Líneas coordenadas para varios psi fijos
for i = 1:length(lineasgamma)
if i == 1
% Agregar solo una entrada a la leyenda para las líneas coordenadas de psi
plot(x1gammafijo(i, :), x2gammafijo(i, :), 'r--', 'LineWidth', 1.5, ...
'DisplayName', 'Líneas coordenadas de \psi');
else
plot(x1gammafijo(i, :), x2gammafijo(i, :), 'r--', 'LineWidth', 1.5, 'HandleVisibility', 'off');
end
end
% Línea coordenada q fija
plot(x1qfijo, x2qfijo, 'b', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'Línea coordenada q');
% Grafico vectores tangentes en el punto escogido
quiver(x1, y1, 2*eq(1), 2*eq(2), ...
0, 'r', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.5, 'DisplayName', 'Vector tangente q'); % Vector \hat{e}_q
quiver(x1, y1, 2*egamma(1), 2*egamma(2) , 0, 'm', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 1.5, 'DisplayName', 'Vector tangente \psi'); % Vector \hat{e}_psi
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Líneas coordenadas y vectores base en coordenadas cilíndricas elípticas');
legend;
axis equal;
grid on;
3 Expresión en coordenadas elípticas en un punto
Consideramos el punto [math] P=(x_1, x_2, x_3) = (2, 0, 0) [/math] y dado que [math]x_1 = aq cos ψ[/math] , [math]x_2 = bq sin ψ [/math] , [math]x_3 = z [/math];
sabiendo que [math] x_1=2 [/math] , [math] x_2=0 [/math] y [math] x_3=0 [/math] obtenemos:
[math] q=1 [/math] , [math] cosψ=1 [/math] , [math] senψ=0 [/math] por tanto [math] ψ=0 [/math]
Entonces [math] P [/math] en coordenas elípticas es:
[math] P = (q,ψ,z) = (1,0,0) [/math]
4 Parametrización de la curva
Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas y las coordenadas cartesianas [math] (x_1,x_2,x_3) [/math] , teniendo en cuenta que nos olvidamos de la coordenada [math] x_3 [/math] ya que es constante e igual a cero podemos parametrizar la a curva γ:
La línea coordenada [math] \gamma_ψ [/math] que pasa por [math] P=(q=1,z=0) [/math] tiene:
[math] \gamma_u(ψ):\begin{cases} x_ψ(t)=2cost\\ y_ψ(t)=3sint \end{cases} [/math]
Teniendo en cuenta que t varia en el intervalo [0,2π] para cubrir toda la elipse.
4.1 Grafico y codigo Matlab
% Definir el rango del ángulo psi
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % 100 puntos entre 0 y 2pi
% Parametrizar las coordenadas cartesianas
q = 1; % Suposición de que q es constante
x1 = 2 * q * cos(psi);
x2 = 3 * q * sin(psi);
% Graficar la curva
figure;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);
xlabel('x1');
ylabel('x2');
axis equal; % Misma escala
title('Curva en coordenadas cartesianas');
grid on;
5 Curvatura
Usando la parametrización [math] \gamma(t)=(2cost,3sent): [/math]
Sus derivadas:
[math] \gamma'(t)=(-2sent,3cost), \gamma''(t)=(-2cost,-3sent) [/math]
siendo [math] \gamma'(t)=\vec{v(t)} [/math] y [math] \gamma''(t)=\vec{a(t)} [/math]
El módulo de [math] \gamma'(t) [/math]:
[math] |\gamma'(t)| = \sqrt{(-2sent)^2+(3cost)^2} = \sqrt{4sen^2t+9cos^2t} [/math]
Dada la sigueinte funcion k(t):
[math]
k(t) = \frac{||\vec{v(t)}× \vec{a(t)}||}{||\vec{v(t)||}^3}
[/math]
Entonces, la curvatura 𝜅(𝑡) se calcula como:
[math]
k(t) = \frac{x'(t)y''(t)-x'(t)y''(t)}{( |\gamma'(t)|)^3}
[/math]
Siendo [math] x'(t)=-2sent, x''(t)=-2cost, y'(t)=3cost, y''(t)=-3sent [/math]
Con esto vemos como quedaria la funcion Siendo [math] k(t) [/math] dibujada en Matlab.
5.1 Gráfica y codigo Matlab
% Parámetros
a = 2; b = 3;
q= 1; % Valor fijo de q
t= linspace(0, 2pi, 100); % Valores de t
x1= a*q* cos(t);
x2= b*q* sin(t);
% Derivadas numéricas
dx1_dt = gradient(x1, t); % Derivada de x1 respecto a t
dx2_dt = gradient(x2, t); % Derivada de x2 respecto a t
d2x1_dt2 = gradient(dx1_dt, t); % Segunda derivada de x1 respecto a t
d2x2_dt2 = gradient(dx2_dt, t); % Segunda derivada de x2 respecto a t
% Cálculo de la curvatura
k = abs(dx1_dt .* d2x2_dt2 - dx2_dt .* d2x1_dt2) ./ ...
((dx1_dt.^2 + dx2_dt.^2).^(3/2));
% Graficar la curvatura
figure;
plot(t, k, 'k', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('t'); ylabel('\kappa(t)');
title('Curvatura \kappa(t)');
grid on;
5.2 Máximos y mínimos
Los máximos y mínimos se calculan con la fomula:
[math] k(t) = \frac{6(sen(t)^2-cos(t)^2}{(4sen(t)^2+9cos(t)^2)^(3/2) } [/math]
sabiendo que los maximos se sitarán en los valores [math] t=π/2 , t=3π/2 [/math] y que los mínimos estáran en [math] t=0 , t=π , t=2π [/math] ya que t oscila entre los valores 0 y 2π.
Max = 0.75
Min = 0.2222
6 Vector tangente y normal
Mediante el siguiente codigo obtenemos el vector normal y tangente respecto a la curva dada:
% Parámetros
a = 2; b = 3; % Constantes elípticas
q= 1; % Valor fijo de q
t= linspace(0, 2pi, 100); % Valores de t
% Parametrización de la curva
x1= a*q* cos(t);
x2= b*q* sin(t);
% Derivadas numéricas
dx1_dt = gradient(x1, t); % Derivada de x1 respecto a t
dx2_dt = gradient(x2, t); % Derivada de x2 respecto a t
% Vectores tangente y normal en un punto específico
Puntot= pi/4; % Punto elegido para t
idx = find(abs(t - Puntot) == min(abs(t - Puntot))); % Índice más cercano
% Tangente en el punto
tangent = [dx1_dt(idx); dx2_dt(idx)];
tangent = tangent / norm(tangent); % Normalizamos
% Normal en el punto (perpendicular al tangente)
normal = [-tangent(2); tangent(1)];
% Coordenadas del punto en la curva
P= [x1(idx); x2(idx)];
% Graficar
figure;
plot(x1, x2, 'm', 'LineWidth', 1.5); hold on;
quiver(P(1), P(2), tangent(1), tangent(2), 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Tangente
quiver(P(1), P(2), normal(1), normal(2), 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Normal
scatter(P(1), P(2), 50, 'k', 'filled'); % Punto específico
% Etiquetas y configuraciones
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Vectores Tangente y Normal en la curva \gamma');
legend('Curva \gamma', 'Tangente \vec{t}', 'Normal \vec{n}', 'Punto de interés');
grid on;
axis equal;
7 Circunferencia osculatriz
Supongamos una curva con [math] q [/math] constante, por ejemplo, [math] q [/math]=1. Entonces la curva parametrizada será:
[math]x_1(ψ)=2cos(ψ)[/math]
[math]x_2(ψ)=3sen(ψ)[/math]
Esta describe una elipse en el plano [math] x_3=0 [/math].
La máxima curvatura es [math]k_máx=\frac{2}{9}[/math], donde el punto correspondientes en la elipse es [math] (x_1,x_2)=(2,0) [/math].
La circunferencia osculatriz tiene el radio inversamente proporcional a la curvatura:
El centro de la circunferencia osculatriz se encuentra en la dirección normal a la curva en el punto, que para [math](2,0)[/math] es [math](2,R)[/math].
La ecuación de la circunferencia es:7.1 Código
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 9 / 2; % Radio de la circunferencia osculatriz
x = 2; % Coordenada x del centro
y = R; % Coordenada y del centro
% Puntos para la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
elipse_x = a * cos(theta);
elipse_y = b * sin(theta);
% Puntos para la circunferencia osculatriz
circulo_theta = linspace(0, 2*pi, 500);
circulo_x = x + R * cos(circulo_theta);
circulo_y = y + R * sin(circulo_theta);
% Graficar la elipse
figure;
plot(elipse_x, elipse_y, 'b-', 'LineWidth', 1.5); hold on;
% Graficar la circunferencia osculatriz
plot(circulo_x, circulo_y, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
% Marcar el punto de máxima curvatura
plot(2, 0, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g');
text(2.1, 0.2, 'Punto de máxima curvatura (2, 0)', 'Color', 'green', 'FontSize', 10);
% Configuración del gráfico
axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Elipse y Circunferencia Osculatriz');
legend('Elipse (q=1)', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de máxima curvatura');
hold off;
8 Superficies de nivel
8.1 Superficie 1
La superficie 1 viene dada como \(f_1(q,ψ,z)=q\) teniendo la [math]q=constante[/math], en coordenadas cilíndricas elípticas:
Esto representa un cilindro elíptico paralelo al eje z.
% Parámetros
a = 2; b = 3;
q = 1; % Valor constante de la superficie
% Malla de puntos
phi = linspace(0, 2*pi, 100);
z = linspace(-5, 5, 100);
[Phi, Z] = meshgrid(phi, z);
% Coordenadas cilíndricas elípticas
X = a * q * cos(Phi);
Y = b * q * sin(Phi);
% Gráfica
figure;
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel: f_1(q, \phi, z) = q');
axis equal;
grid on;
8.2 Superficie 2
La superficie 2 viene dada como \(f_2(q,ψ,z)=ψ\) teniendo la [math]ψ=constante[/math].
Esto describe un semiplano que pasa por el eje [math]z[/math] y está inclinado a un ángulo ψ respecto al eje [math]x_1[/math].
% Parámetros
a = 2; b = 3;
phi_const = pi/4; % Valor constante de la superficie
% Malla de puntos
q = linspace(0, 2, 100);
z = linspace(-5, 5, 100);
[Q, Z] = meshgrid(q, z);
% Coordenadas cilíndricas elípticas
X = a * Q * cos(phi_const);
Y = b * Q * sin(phi_const);
% Gráfica
figure;
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel: f_2(q, \phi, z) = \phi');
axis equal;
grid on;
8.3 Superficie 3
La superficie 3 viene dada como \(f_3(q,ψ,z)=z\) teniendo la [math]z=constante[/math].
Esto describe un plano horizontal paralelo al plano [math]x_1x_2[/math].
% Parámetros
a = 2; b = 3;
z_const = 2; % Valor constante de la superficie
% Malla de puntos
phi = linspace(0, 2*pi, 100);
q = linspace(0, 2, 100);
[Phi, Q] = meshgrid(phi, q);
% Coordenadas cilíndricas elípticas
X = a * Q .* cos(Phi);
Y = b * Q .* sin(Phi);
% Gráfica
figure;
surf(X, Y, z_const * ones(size(X)), 'EdgeColor', 'none');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel: f_3(q, \phi, z) = z');
axis equal;
grid on;
8.4 Superficies regladas
8.4.1 Uso de superficies regladas en la ingeniería
Una superficie reglada es una superficie en el espacio tridimensional que puede generarse mediante el movimiento de una recta a lo largo de una trayectoria en el espacio. Dichas superficies se caracterizan porque por cada punto de la superficie pasa al menos una línea recta que se encuentra completamente contenida en ella.
Con respecto a la ingeniería podemos observar el uso de superficies regladas en diferentes casos como:
- En puentes y cubiertas: Puente Helicoidal de Hong Kong, para garantizar estabilidad y estética.
- En cúpulas y techos: L'Oceanogràfic, porque es posible crear superficies con curvaturas y formas distintas.
- En la arquitectura contemporánea: Museo Guggenheim de Bilbao, para diseños innovadores y funcionales.
8.4.2 ¿Son superficies regladas las superficies anteriores?
- La superficie 1 al ser un cilindro elíptico, es una superficie reglada porque puede generarse desplazando una recta a lo largo de una curva elíptica en el plano z=0.
- La superficie 2 al ser un semiplano, también es reglada porque cualquier plano es una superficie generada por líneas rectas.
- La superficie 3 al ser un plano horizontal, también es reglada por la misma razón.
9 Información sobre la elipse
El uso de la elipse en la ingeniería es ampliamente utilizado gracias a sus propiedades matemáticas y funcionales y se caracteriza por algunas funciones como:
- La focalización: Las propiedades geométricas de la elipse permiten que cualquier rayo que pase por un foco se refleje hacia el otro. Esto es útil en acústica y óptica.
- La estabilidad estructural: Las formas elípticas distribuyen cargas de manera eficiente, haciéndolas ideales para techos, cúpulas, y puentes.
- La estética y simetría: Su geometría crea diseños elegantes y armónicos, comunes en construcciones arquitectónicas modernas y clásicas.
