Curvas de Bézier (Grupo 32)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Derformación plana. Grupo 32
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Nombres: Rocío Jamileth Ruiz Herrera, Mario Del Amo Domínguez, Diana Estefanía Sagal Tituaña, Jesús Gil Gutierrez y David Bretaña Blanco
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Las cuervas de Bézier deben su nombre al ingeniero francés Pierre Bézier, quien las presentó en 1962 y posteriormente utilizó para el diseño de partes de automóviles para Renault. Actualmente, estas curvas son indispensables para la industria de la gráfica por computadora, el diseño industrial y la ingeniería, facilitando la creación de formas más fluidas y precisas.

Las curvas de Bézier de orden [math]n[/math] están definidas por los puntos de control [math]P_0,P_1,...,P_n[/math] y se pueden expresar mediante la siguiente fórmula:

[math] B(t)=\sum_{i=0}^n B_{i,n}(t) P_i\ [/math]

donde \(B_{i,n}(t)\) son los polinomios de Bernstein, dados por:

[math] B_{i,n}(t) = \binom{n}{i} t^i (1-t)^{n-i}\ [/math]

para \(t \in [0, 1]\), y donde \(\binom{n}{i}\) es el coeficiente binomial.

1 Representación de la curva de Bézier cúbica (n=3) junto con la curva poligonal que conecta los cuatro puntos coplanarios

Primero, seleccionamos cuatro puntos coplanarios cualesquiera. En este caso conseguimos los puntos coplanarios en el plano z=0 que posteriormente sustituiremos en la formula de Bézier:

[math] B(t) = (1-t)^3P_0 + 3t(1-t)^2P_1 + 3t^2(1-t)P_2 + t^3P_3, \; t \in [0,1] [/math]

Para mejor manejo de la fórmula la expresaremos por componentes en la base física cartesiana [x,y,z]:

[math] x(t) = (1 - t)^3 P_{0x} + 3(1 - t)^2 t P_{1x} + 3(1 - t) t^2 P_{2x} + t^3 P_{3x}[/math]
[math] y(t) = (1 - t)^3 P_{0y} + 3(1 - t)^2 t P_{1y} + 3(1 - t) t^2 P_{2y} + t^3 P_{3y}[/math]
[math] z(t) = (1 - t)^3 P_{0z} + 3(1 - t)^2 t P_{1z} + 3(1 - t) t^2 P_{2z} + t^3 P_{3z}.[/math]
Posteriormente elegimos los puntos coplanarios:
[math] P0=(0,0,0),P1=(1,2,0),P2=(3,4,0),P3=(4,0,0) [/math].

Tras sustituir los puntos en la fórmula obtenemos una gráfica en la que se puede observar la curva de Bézier de los cuatro puntos junto con la cuerva poligonal que une los puntos.

curva de Bézier

%Puntos de control coplanarios
P0 = [0, 0,0];
P1 = [1, 2,0];
P2 = [4, 3,0];
P3 = [3, 0,0];
P = [P0; P1; P2; P3];
t = linspace(0, 1, 100);
% Polinomios de Bernstein
B0 = (1 - t).^3;
B1 = 3 * t .* (1 - t).^2;
B2 = 3 * t.^2 .* (1 - t);
B3 = t.^3;
% Coordenadas de la curva de Bézier
x = B0 * P0(1) + B1 * P1(1) + B2 * P2(1) + B3 * P3(1);
y = B0 * P0(2) + B1 * P1(2) + B2 * P2(2) + B3 * P3(2);
% Representación gráfica
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2); hold on;
plot(P(:, 1), P(:, 2), 'ro--', 'LineWidth', 1.5); 
% Polígono de control
legend('Curva de Bézier', 'Curva poligonal');
title('Curva de Bézier Cúbica');
axis equal;
grid on;
xlabel('Eje x'); ylabel('Eje y');