Torres de enfriamiento hiperbólicas (grupo 33)

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Trabajo realizado por estudiantes
Título Torres de enfriamiento Hiperbólicas. Grupo 33
Asignatura Teoría de Campos
Curso 2024-25
Autores Marcos Sanchez Martínez Guillermo Garrido Torres Carlos Aguado Esparrells Hector Perucho Conde
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura


Las torres de enfriamiento hiperbólicas son estructuras fundamentales en la industria energética, ampliamente utilizadas desde mediados del siglo XX debido a su alta eficiencia en la transferencia de calor. Estas torres, con su distintiva forma hiperbólica, combinan propiedades geométricas y mecánicas que las hacen tanto resistentes como funcionales para optimizar los procesos de enfriamiento en plantas termoeléctricas y nucleares.

En este trabajo, se analiza el diseño y comportamiento de una torre de enfriamiento hiperbólica típica, considerando su geometría, las fuerzas inducidas por el viento en su superficie, y el campo de temperatura dentro de la estructura.

Consideremos una torre de enfriamiento hiperbólica, caracterizada por su altura total H, su radio máximo en la base Rmax, y su radio mínimo Rmin alcanzado a 2/3 de la altura H de la torre.

La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura 2/3H, el cual, en coordenadas cartesianas, tiene la siguiente forma:

[math]\dfrac{x^2+y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]

Se pueden suponer los siguientes parámetros:

[math]Rmax=50m,\qquad Rmin=50m,\qquad H=120m[/math]

Por otro lado, el viento ejerce una presión lateral que varía a lo largo de la superficie de la torre. Considerando que la velocidad escalar del viento aumenta con la altura, podemos representarla con la función:

[math]V(z)=V_o(\dfrac{z}{z_o})^α [/math]

Donde:

- [math]V_0[/math] es la velocidad de referencia del viento a una altura [math]z_0[/math]. Para una simulación de viento, podemos fijar [math]V_0 = 15 m/s[/math] como valor de referencia.

- α es un exponente que depende del terreno; para ´areas abiertas suele ser alrededor de 0.14.

Utilizando esta velocidad del viento, la presión del viento sobre la superficie de la torre se puede modelar como:

[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \rho V(z)^2[/math]

donde ρ es la densidad del aire estándar.

Para determinar la distribución de las fuerzas laterales, calculamos el campo vectorial de las fuerzas inducidas por el viento en la superficie de la torre:

[math]\vec{F}(x, y, z) = -P(z) \cdot \vec{n}[/math]

donde [math]\vec{n}[/math] es el vector normal a la superficie.

Por ultimo, Suponemos que dentro de la torre de enfriamiento se da un campo de temperatura representado mediante la ecuación:

[math]T(r, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{r^2}{R_{\text{max}}^2 - r^2}} \right)[/math]

1 Encontrar los valores de a, c, [math]z_0[/math] para la ecuación de la torre

Con la ecuación: [math]\dfrac{x^2+y^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math] en cartesianas, lo primero es pasar la fórmula del hiperboloide a cilíndricas que es [math]\dfrac{\rho^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]. Ya que en cilíndricas [math] \rho^2=x^2+y^2 [/math]

Ahora se tiene en cuenta los parámetros:

La altura (H) es 120 metros

En z=0 (la base) el radio máximo es 50 metros

En [math]z=\dfrac{2}{3} \cdot H=80[/math] el radio mínimo es 20 metros

Lo primero es saber que el hiperboloide está centrado a una altura [math]z_0[/math](dado por el enunciado)​, la cual se toma como el centro de simetría. Por la simetría del problema, sabemos que la curva alcanza su mínimo radio en [math]z=z_0[/math]​. Esto implica que:

[math]z_0=\dfrac{2}{3} \cdot H=80m[/math]

Así que la ecuación(1) situada en el centro de simetría con los parámetros:

[math] \rho=20, \qquad z=z_0=80[/math]

[math]\dfrac{20^2}{a^2} - \dfrac{(80-80)^2}{c^2} = 1 → \qquad \dfrac{20^2}{a^2}=1 → \qquad a=20 [/math]

Por otro lado tenemos la ecuación(2) situada en la base con parámetros:

[math] \rho=50, \qquad z=0, \qquad z_0=80[/math]

[math]\dfrac{50^2}{a^2} - \dfrac{(0-80)^2}{c^2} = 1[/math]

Por último se sustituye el valor de a en (2) y se consigue el valor de c

[math]c≈34,91[/math]

Así que la ecuación de la torre en cilíndricas con los valores ya sustituidos de a,c y [math]z_0[/math] es:

[math]\dfrac{\rho^2}{20^2} - \dfrac{(z-80)^2}{34,91^2} = 1 → \qquad \dfrac{\rho^2}{400} - \dfrac{(z-80)^2}{1219} = 1[/math]

2 Representación de la superficie parametrizada

Lo primero, es parametrizar la superficie conseguida en la tarea 1 qué es: [math]\dfrac{\rho^2}{20^2} - \dfrac{(z-80)^2}{34,91^2} = 1 → \qquad \dfrac{\rho^2}{400} - \dfrac{(z-80)^2}{1219} = 1[/math]

La parametrización que le damos nosotros para la representación es:

r(u,v)=(p(v)[math]\cdot[/math]cos(u) , p(v)[math]\cdot[/math]sen(u) , v)

Donde [math]p(v)=\sqrt{400 \cdot (1+ \dfrac{(v-80)^2}{1219})}[/math]

Y u pertenece a [0,2pi] y v pertenece a [0,120]

Por lo que es la representación en matlab es: 

% Parámetros de la torre 
Rm=50% Parámetro a (radio max)
a = 20; % Parámetro a (radio mínimo)
z0 = 80; % Centro del hiperboloide
H = 120; % Altura total de la torre
c = sqrt(((6400*a^2)/(Rm^2-a^2))); % Parámetro c


% Dominio de los parámetros 
theta = linspace(0, 2*pi, 100); % Ángulo theta [0, 2pi] 
z = linspace(0, H, 100); % Altura z [0, H] 
% Crear mallas para theta y z 
[Theta, Z] = meshgrid(theta, z); 
% Radio \rho en función de z 
Rho = sqrt(a^2 * (1 + ((Z - z0).^2) / c^2)); 

% Coordenadas cartesianas 
X = Rho .* cos(Theta); % Coordenada x 
Y = Rho .* sin(Theta); % Coordenada y 

% Graficar la superficie 
figure; 
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none'); % Representar superficie sin bordes 
colormap([0.5, 0.5, 0.5]); % Color único (gris) 
xlabel('X (m)'); 
ylabel('Y (m)'); 
zlabel('Z (m)'); 
title('Superficie de la Torre de Enfriamiento'); 
axis equal; % Ejes proporcionales 
view(3); % Vista 3D

(Insertar Imagen)

En esta representación se puede observar la torre de enfriamiento hiperbólica cuya altura es 120 metros, cuyo Radio máximo es alcanzado en la base(z=0) como se puede observar y cuyo radio mínimo es alcanzado a 2/3H (z=80)

3 Ecuación de la torre como una superficie rigada

Una superficie rigada es una superficie generada al mover una recta a lo largo de una trayectoria. El hiperboloide de una hoja es una superficie reglada, y su representación puede expresarse como:

[math]r(u,v)=r_0(u)+v \cdot d(u)[/math]

donde [math]r_0(u)[/math] es una curva generadora, en cambio d(u) es una dirección de la recta generadora.

Para el hiperboloide:

1. Podemos parametrizar una curva generadora en [math]z_0[/math]=cte como: [math]r_0(u)= (a \cdot cos(u) , a \cdot sen(u) , z_0)[/math]

2. Una dirección de la recta generadora es: [math]d(u)= (sinh(v) \cdot cos(u) , sinh(v) \cdot sin(u) , cosh(v))[/math]

Por lo que la parametrización rigada es: [math]r(u,v)= (a \cdot cos(u)+v \cdot sinh(v) \cdot cos(u) , a \cdot sen(u)+v \cdot sinh(v) \cdot sin(u) , z_o+v \cdot cosh(v))[/math]

4 Representación del campo escalar de presión como un mapa de colores sobre la superficie parametrizada de la torre

Esta pregunta se centra en representar gráficamente el campo escalar de presión inducido por el viento en la superficie de la torre. Esto permite comprender cómo varía la presión a lo largo de la estructura en función de la altura, un factor crucial en el diseño y la estabilidad estructural. 

% Parámetros de la torre
Rm=50; % Parámetro a (radio max)
a = 20; % Parámetro a (radio mínimo)
z0_torre = 80; % Centro del hiperboloide 
c = sqrt(((6400*a^2)/(Rm^2-a^2))); %Parámetro c
H = 120; % Altura total
Rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
V0 = 15; % Velocidad del viento a z0 (m/s)
z0_viento = 10; % Altura de referencia para el viento (m)
alpha = 0.14; % Exponente del perfil del viento
% Crear la malla para parametrizar la superficie
u = linspace(0, 2*pi, 100); % Ángulo alrededor del eje z 
v = linspace(0, H, 200); % Altura
[U, V] = meshgrid(u, v); % Crear mallas 2D para u y v
% Parametrización del hiperboloide
X = a * cos(U) .* sqrt(1 + ((V - z0_torre) / c).^2);
Y = a * sin(U) .* sqrt(1 + ((V - z0_torre) / c).^2);
Z = V;
% Derivadas parciales para calcular la normal
dXdu = -a * sin(U) .* sqrt(1 + ((V - z0_torre) / c).^2); % Derivada respecto a u
dYdu = a * cos(U) .* sqrt(1 + ((V - z0_torre) / c).^2);
dZdu = 0; % Z no depende de u
dXdv = (a * cos(U) .* ((V - z0_torre) / c.^2)) ./ sqrt(1 + ((V - z0_torre) / c).^2); % Derivada respecto a v
dYdv = (a * sin(U) .* ((V - z0_torre) / c.^2)) ./ sqrt(1 + ((V - z0_torre) / c).^2);
dZdv = 1; % Z depende linealmente de v
% Producto cruzado para obtener la normal
Nx = dYdu .* dZdv - dZdu .* dYdv;
Ny = dZdu .* dXdv - dXdu .* dZdv;
Nz = dXdu .* dYdv - dYdu .* dXdv;
% Magnitud del vector normal para normalizar
N_mag = sqrt(Nx.^2 + Ny.^2 + Nz.^2);
Nx = Nx ./ N_mag; 
Ny = Ny ./ N_mag;
Nz = Nz ./ N_mag;
% Perfil del viento
V_wind = V0 * (V / z0_viento).^alpha;
% Presión del viento
P_wind = 0.5 * Rho * V_wind.^2;
% Fuerza lateral del viento
Fx = -P_wind .* Nx;
Fy = -P_wind .* Ny;
Fz = -P_wind .* Nz;
% Representar la torre y el campo de presión
figure;
surf(X, Y, Z, P_wind, 'EdgeColor', 'none'); % Campo de presión 
hold on;
quiver3(X(1:10:end, 1:10:end), Y(1:10:end, 1:10:end), Z(1:10:end, 1:10:end), ...
Fx(1:10:end, 1:10:end), Fy(1:10:end, 1:10:end), Fz(1:10:end, 1:10:end), ...
2, 'k'); % Representar todas las fuerzas
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
title('Presión y fuerzas inducidas por el viento sobre la torre');
axis equal;
grid on;
view(3);
colormap(jet); % representacion campo de presiones
colorbar; % leyenda de colores

(Insertar imagen)

(Descripción breve de lo visto en la imagen)

5 Representación del campo vectorial de la fuerza generada por la presión del viento en la superficie de la mitad de la torre expuesta.

En la quinta pregunta, se busca visualizar el campo vectorial de las fuerzas generadas por la presión del viento sobre la superficie de la torre. Este análisis es esencial para estudiar las cargas mecánicas que la estructura debe soportar bajo condiciones de viento. 

% Parámetros de la torre
Rm=50; % Parámetro a (radio max)
a=20; % Parámetro a (radio mínimo)
z0_torre=80; % Centro del hiperboloide
c=sqrt(((6400*a^2)/(Rm^2-a^2))); % Parámetro c
H=120; % Altura total
Rho=1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
V0=15; % Velocidad del viento a z0 (m/s)
z0_viento=10; % Altura de referencia para el viento (m)
alpha=0.14; % Exponente del perfil del viento
% Crear la malla para parametrizar la superficie
u=linspace(0,2*pi,100); % Ángulo alrededor del eje z
v=linspace(0,H,200); % Altura
[U,V]=meshgrid(u,v); % Crear mallas
% Parametrización del hiperboloide
X=a*cos(U).*sqrt(1+((V-z0_torre)/c).^2);
Y=a*sin(U).*sqrt(1+((V-z0_torre)/c).^2);
Z=V;
% Derivadas parciales para calcular la normal
dXdu=-a*sin(U).*sqrt(1+((V-z0_torre)/c).^2); % Derivada respecto a u
dYdu=a*cos(U).*sqrt(1+((V-z0_torre)/c).^2);
dZdu=0;
dXdv=(a*cos(U).*((V-z0_torre)/c.^2))./sqrt(1+((V-z0_torre)/c).^2); % Derivada respecto a v
dYdv=(a*sin(U).*((V-z0_torre)/c.^2))./sqrt(1+((V-z0_torre)/c).^2);
dZdv=1;
% Producto cruzado para obtener la normal
Nx=dYdu.*dZdv-dZdu.*dYdv;
Ny=dZdu.*dXdv-dXdu.*dZdv;
Nz=dXdu.*dYdv-dYdu.*dXdv;
% Magnitud del vector normal para normalizar
N_mag=sqrt(Nx.^2+Ny.^2+Nz.^2);
Nx=Nx./N_mag;
Ny=Ny./N_mag;
Nz=Nz./N_mag;
% Perfil del viento
V_wind=V0*(V/z0_viento).^alpha;
% Fuerza lateral del viento
Fx=-P_wind.*Nx;
Fy=-P_wind.*Ny;
Fz=-P_wind.*Nz;
% Presión del viento
P_wind=0.5*Rho*V_wind.^2;
% Filtrar puntos para la mitad expuesta (X > 0)
mask=X>0; % Máscara para filtrar la mitad expuesta
X_half=X.*mask;
Y_half=Y.*mask;
Z_half=Z.*mask;
Fx_half=Fx.*mask;
Fy_half=Fy.*mask;
Fz_half=Fz.*mask;
% Representar la torre con el campo vectorial sobre la superficie
figure;
surf(X,Y,Z,P_wind,'EdgeColor','none'); % Campo de presión como mapa de colores
hold on;
% Representar fuerzas sobre la superficie
quiver3(X_half(1:10:end,1:10:end),Y_half(1:10:end,1:10:end),Z_half(1:10:end,1:10:end),...
Fx_half(1:10:end,1:10:end),Fy_half(1:10:end,1:10:end),Fz_half(1:10:end,1:10:end),...
2,'k'); % Flechas representando fuerzas
xlabel('X (m)');
ylabel('Y (m)');
zlabel('Z (m)');
title('Campo vectorial de fuerzas en la mitad expuesta de la torre');
axis equal; % Mantener proporciones
grid on;
view(3); % Vista en 3D
colormap(jet); % Colormap "jet" para el campo de presión
colorbar; % leyenda de colores

(Insertar Imagen)

(Descripción breve de lo visto en la imagen)

6 Representación el campo de temperatura utilizando un mapa de colores en un plano vertical que corta la torre pasando por el eje de simetría.

En el apartado 6, se analiza y representa el campo de temperatura en la torre. Por un lado, se estudia cómo varía la temperatura en un plano vertical que corta la torre por el eje de simetría. Por otro lado, se examinan planos paralelos al suelo mediante una animación que permite visualizar la distribución de temperatura en diferentes niveles de la torre.

La animación en matlab es: 

% Parámetros
Rm = 50; % Radio máximo (m) 
a=20; % Parámetro a (radio mínimo)
z0=80; % Centro del hiperboloide
c=sqrt(((6400*a^2)/(Rm^2-a^2))); % Parámetro c
H=120; % Altura total
Tbase = 70; % Temperatura en la base (°C)
Ttop = 25; % Temperatura en la parte superior (°C)
DeltaTz = Tbase - Ttop;
DeltaTr = 5; % Variación máxima radial (°C)
n = 1.5; % Exponente de convección
% ------------------ Animación: Torre Hueca ------------------
% Malla para el hiperboloide
theta = linspace(0, 2*pi, 50); % Ángulo alrededor del eje z
z = linspace(0, H, 50); % Coordenada vertical
% Iniciar figura
figure;
for i = 1:length(z)
% Altura de la capa actual
zi = z(i);
% Radio en esta altura
r = sqrt((1 + (zi - z0)^2 / c^2) * a^2);
% Coordenadas de la capa
x = r * cos(theta);
y = r * sin(theta);
z_layer = zi * ones(size(x));
% Temperatura en esta capa
T_layer = Tbase - DeltaTz * (zi / H)^n - DeltaTr * (1 - exp(-r^2 / (Rmax^2 - r^2)));
% Dibujar la capa
fill3(x, y, z_layer, T_layer, 'EdgeColor', 'none'); % Colores según la temperatura
hold on;
% Configuración gráfica
colormap('jet');
colorbar;
caxis([Ttop, Tbase]); % Escala de colores
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
zlabel('z (m)');
title('Construcción del hiperboloide con el campo de temperatura');
xlim([-Rm, Rm]);
ylim([-Rm, Rm]);
zlim([0, H]);
view(3);
pause(0.1);
end
hold off;

Por otro lado, el plano vertical en matlab es: 

figure; % Ventana 2: Plano vertical
% Generar plano vertical en xz
x_plane = linspace(-Rm, Rm, 100); % Eje x del plano
z_plane = linspace(0, H, 100);        % Eje z del plano
[X_plane, Z_plane] = meshgrid(x_plane, z_plane);
% Cálculo de la temperatura en el plano
R_plane = abs(X_plane); % Distancia radial en el plano
T_plane = Tbase - DeltaTz * (Z_plane / H).^n - DeltaTr * (1 - exp(-R_plane.^2 ./ (Rmax^2 - R_plane.^2 + eps)));
% Representar el plano vertical
surf(X_plane, zeros(size(X_plane)), Z_plane, T_plane, 'EdgeColor', 'none', 'FaceAlpha', 0.8);
% Configuración gráfica
colormap('jet');
colorbar;
caxis([Ttop, Tbase]); % Escala de colores
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
zlabel('z (m)');
title('Plano Vertical: Campo de Temperatura');
xlim([-Rm, Rm]);
ylim([-Rm, Rm]);
zlim([0, H]);
view(3);
hold off;

(Insertar imagenes)

(Breve descripción de las imagenes vistas)

7 Representación del campo del gradiente de temperatura en los puntos de un plano que corta la torre verticalmente pasando por el eje de simetría

8 Animación que representa las superficies isotérmicas para varios valores de temperatura

9 Qué forma tendría ahora la torre de enfriamiento si suponemos que Rmax=Rmin=50m

10 Uso de estructuras hiperboloides en ingeniería

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