Grupo 38 Cicloide

Trabajo realizado por estudiantes
Título	La cicloide. Grupo 38
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Esteban Espinoza Villanueva Alejandro Trejo Meseguer Antonio García del Pozo García Liam O'Hea Kith
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Dibujo de la curva

% Parámetros
R = 2; % Radio dado
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Valores de t entre 0 y 2*pi

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Graficar la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2); 
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva paramétrica (t)');
grid on;
axis equal;

2 Cálculo de vectores velocidad y aceleración

La parametrización de la curva cicloide es (teniendo en cuenta que el radio es R=2): [math] \gamma\left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right)\right)=(2(1-sin(t)), 2(1-cos(t)) ) [/math]

Podemos obtener los campos de velocidad y aceleración a través de las fórmulas: [math]\overrightarrow{v(t)}=\frac{\frac{d \gamma(t)}{dt}}{\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|}=(2-2cos(t),2sen(t))[/math]

[math]\overrightarrow{a(t)}=\frac{\frac{d \overrightarrow{v}(t)}{dt}}{\left| \frac{d \overrightarrow{v}(t)}{dt} \right|}=(2sen(t),2cos(t))[/math]
Y lo representaremos usando el programa:

% Parámetros dados
R = 2;                % Radio de la cicloide
t = linspace(0, 2*pi, 50); % Valores de t

% Coordenadas de la curva
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Derivadas parciales para el cálculo del vector velocidad
vx = R * (1 - cos(t)); % Componente x de la velocidad
vy = R * sin(t);       % Componente y de la velocidad

% Derivadas segundas para el cálculo del vector aceleración
ax = R * sin(t);       % Componente x de la aceleración
ay = R * cos(t);       % Componente y de la aceleración

% Grafica de la curva
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); 
hold on;

% Grafica de los vectores velocidad y aceleración
quiver(x, y, vx, vy, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1); % Vectores de velocidad en rojo
quiver(x, y, ax, ay, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1); % Vectores de aceleración en verde

% Elementos de la gráfica
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');
title('Curva (t) con vectores velocidad y aceleración');
grid on;
axis equal; 
hold off;

3 Cálculo de la longitud de la curva L

Para calcular la longitud de la curva usaremos: [math]L=\int_{0}^{2\Pi}\left| \frac{d \gamma(t)}{dt} \right|dt[/math]

Y para calcular la longitud deberemos resolver la siguiente integral: [math]L=\int_{0}^{2\Pi}2\sqrt{2}\sqrt{1-cos(t)}dt[/math]
Para lo cual usaremos Matlab a través del siguiente programa:

f = @(t) 2*sqrt(2)*sqrt(1 - cos(t)); %Módulo de la derivada de la parametrización
a = 0;  
b = 2*pi;  
n = 1000;  
h = (b - a) / n;  %Integral calculada con suma del área de 1000 rectángulos
x = a:h:b;  
y = f(x);   
integral_aproximada = sum(y(1:end-1)) * h; %Suma de cada una de las áreas
disp(integral_aproximada);

Así, resulta que la longitud de la curva es: L=16u

4 Cálculo y representación de los campos vectoriales tangenciales y normales a la curva.

Calcularemos los vectores tangencial y normal a la curva a través de las fórmulas:

Para calcular el vector tangencial dividimos el vector velocidad anteriormente calculado entre su módulo:[math]\overrightarrow{t(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)} \right|}[/math]
El cálculo del vector normal lo haremos mediante la siguiente operación: [math]\overrightarrow{n(t)}=\overrightarrow{b(t)}\times \overrightarrow{n(t)}[/math]
Y para ello necesitamos calcular el vector binomial, que tiene la siguiente expresión:
[math]\overrightarrow{b(t)}=\frac{\overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)}}{\left| \overrightarrow{v(t)}\times \overrightarrow{a(t)} \right|}[/math]
Realizando las operaciones:
[math]\overrightarrow{b(t)}=\frac{2-2cos(t)}{\sqrt{cos(t)^{2}-16cos(t)+1}}\overrightarrow{k}[/math]
Así, obtenemos:
[math]\overrightarrow{n(t)}=\frac{sen(t)(2cos(t)-2)}{\sqrt{(2-2cos(t))(cos(t)^{2}-16cos(t)+1)}}\overrightarrow{(-i)}+\frac{(2cos(t)-2)(1-cos(t))}{\sqrt{(2-2cos(t))(cos(t)^{2}-16cos(t)+1)}}\overrightarrow{j}[/math]
[math]\overrightarrow{t(t)}=\frac{1-cos(t)}{\sqrt{2-2cos(t)}}\overrightarrow{i}+\frac{sin(t)}{\sqrt{2-2cos(t)}}\overrightarrow{j}[/math]

5 Curvatura de k(t) y su gráfica.

La curvatura k(t) es una función que representa el nivel de curvatura de la cicloide en cada P(t) de la misma. Esta función viene definida por la expresión

t=linspace(0,2*pi(),100); %Valores que definen t y número de puntos entre dichos valores
f=(sqrt(16*(cos(t)).^2-32*cos(t)+16)./((sqrt(8-8*cos(t)).^3))); %Módulo del producto vectorial del vector velocidad y del vector aceleración,
%dividido entre el módulo del vector velocidad elevado al cubo
plot(t,f);
xlim([0 2*pi()]);
axis("equal");
grid on

Imagen de la gráfica realizada con Matlab.

En los lados se puede observar que la gráfica tiende a infinito, esto se debe a que cuando t vale 0 ó 2π el vector velocidad se anula y por lo tanto la fracción resultante de el cálculo de la curvatura tiende a infinito.

6 Centro y radio de la circunferencia osculatriz en un punto P

Sabemos que la curvatura nos define el radio de la circunferencia osculatriz en cualquier punto de la curva, a través de la fórmula:
[math]K(t)=\frac{1}{R(t)}[/math]
Así, si queremos hallar el radio para el punto definido por el parámetro t=2:
[math]K(2)=0,149\Rightarrow R(2)=6,711 [u][/math]

7 Información sobre el cicloide, aplicaciones en la ingeniería civil y propiedades matemáticas.

Primero se describirá la curva y se enunciarán algunas propiedades que presenta la cicloide en cuanto a las matemáticas, posteriormente se relacionará con el campo de la ingeniería y las posibles aplicaciones que puede tener para la construcción.
La cicloide es una curva generada por un punto en el borde de un círculo que rueda sin deslizar sobre una línea recta. Este fenómeno ocurre bajo la condición de rodadura sin deslizamiento, lo que implica que, en todo momento, el punto de contacto entre el círculo y la superficie tiene una velocidad nula, debido a que la velocidad de la línea recta es 0.

Circunferencia de generación cicloide

Para comprender cómo se genera esta curva, imaginemos un círculo rodando suavemente sobre una superficie plana. A medida que el círculo gira, un punto fijo en su borde traza una trayectoria en el espacio que da lugar a la cicloide. Esta curva tiene propiedades matemáticas notables.
En el ámbito de la ingeniería, la cicloide encuentra aplicaciones en el diseño de mecanismos y estructuras. Por ejemplo, se utiliza en la construcción de engranajes cicloidales, así como en la trayectoria ideal de cuerpos sometidos a ciertas condiciones gravitatorias, como el problema de la braquistócrona.
A continuación, se procederá a enunciar algunas propiedades de la cicloide. Sin embargo, antes de hacerlo, es necesario definir ciertos términos fundamentales que faciliten su comprensión. Estos conceptos servirán como base para explicar las características matemáticas.
Definiciones:

Curva braquistócrono.

8 Uso de cicloides en estructuras civiles

==Cicloide en R3