T.C.V2
holaa gente https://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Cycloid_f.gif
Los españoles muy españoles y MUCHO españolesTexto en negrita
Contenido
1 Visualización de la curva
A la derecha nos encontramos con la cicloide, una de muchas, en cuestión esta es la curva tautrocrona.
clear,clc
R=2;
%Definición del vector t
t=linspace(0,2*pi,1000);
%Trayectoria de la cicloide
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%Dibujo de la curva
plot(x,y,'b');
%Etiquetas
xlabel('X');
ylabel('Y',"Rotation",0);
axis equal
axis([0,max(x),0,max(y)+0.5])
title('Cicloide');
2 Velocidad, aceleración de la cicloide junto a los vectores normales y tangente
2.1 Vector velocidad
El vector velocidad es la derivada del vector posición con respecto del parámetro t.
- [math] γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = (R(1-cos(t))\vec i +R(sen(t))\vec j [/math]
2.2 Vector aceleración
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad con respecto al parátro t.
- [math] γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = Rsen(t)\vec i + Rcos(t)\vec j[/math]
2.3 Representación gráfica de los vectores
Mediante un código en MATLAB
R=2;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));
y=R*(1-cos(t));
%vector velocidad
v1=R*(1-cos(t));
v2=R*(sin(t));
%vector aceleración
a1=R*(sin(t));
a2=R*(cos(t));
figure
hold on
%Gráficos
plot(x,y,'k')
quiver(x,y,v1,v2,'b');
quiver(x,y,a1,a2,'r');
%Etiquetas
axis equal
legend('Curva', 'Velocidad', 'Aceleración');
hold off
title('Curva, velocidad y aceleración');
3 Longitud de la cicloide
En este apartado se ha realizado la longitud de la curva propuesta siguiendo los conceptos explicados en clase para su resolución analítica y los conocimientos adquiridos en la asignatura de informática en su resolución numérica.
[math] Longitud = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |=\int_{a}^{b} \sqrt{x(t)^2+y(t)^2} dt= \int_{0}^{2pi} \sqrt{R^2((1-cos(t))^2+sin(t)^2)}dt
= \int_{a}^{b} R\sqrt{((1-cos(t))^2+sin(t)^2)} = [/math]
[math] = \int_{a}^{b} R\sqrt{1-2cos(t)+cos(t)^2+sin(t)^2} = \int_{a}^{b} R\sqrt{2(1-1cos(t)}=
\int_{a}^{b} R2sin(\frac{t}{2})=R2 \int_{a}^{b} sin(\frac{t}{2}) =-\frac{1}{2}cos(\frac{t}{2})|_0^{2π}4R = [/math]
[math] = 4R(2)=[R=2]= 16 m [/math]
clear;clc
t=linspace(0,2*pi,1000);
X=2*(t-sin(t));Y=2*(1-cos(t));
Vx=2*(1-cos(t));Vy=2*sin(t);
n=length(t);
Sum =0;
for i =1:n-1
b = t(i+1)-t(i);
a = sqrt ((2*(1-cos(t(i))))^2+(2*sin(t(i)))^2) ;
super = b *a ;
Sum = Sum + super;
end
Longitud=round(Sum);
fprintf (['La longitud es %f, que redondeando es %d.\nDato que concuerda ' ...
'con el resultado optenido de\nforma analítica '],Sum,Longitud )
4 Curvatura
4.1 Definición de la curvatura
La curvatura nos sirve para ver como cambia la dirección de la tangente a lo largo de la curva.
Su fórmula es:
[math]\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}[/math]
Si lo desarrollamos:
[math]\kappa(t)=\frac{x'(t).y''(t)-x''(t).y'(t)}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{\frac{3}{2}}}=\frac{(2-2cos(t)).2cos(t)-2sen(t).2sen(t)}{((2-2cos(t))^{2}+(2sen(t))^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4cos(t)^{2}-4sen(t)^{2}}{(4-8cos(t)+4cos(t)^{2}+4sen(t)^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{4cos(t)-4}{(8-8cos(t))^{\frac{3}{2}}}[/math]
4.2 Representación de la curvatura
Representamos la curvatura mediante un código en MATLAB:
n=100;
t=linspace(0,2*pi,n);
k=(4*cos(t)-4)./(8-8.*cos(t)).^(3/2);
figure
plot(t,k,'b');
axis equal
title ('Curvatura kappa(t). ');
