Torres de enfriamiento hiperbólicas (Grupo 18)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Torres de enfriamiento hiperbólicas (Grupo 18)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Héctor Mora Losana Iván Rodríguez Lozano Javier Araña García Francisco Alonso Sánchez Carlos Fernández Alonso Javier Ruiz Sáenz de Jubera
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Torres de enfriamiento hiperbólicas.

Las torres de enfriamiento hiperbólicas son estructuras icónicas en la ingeniería moderna, utilizadas principalmente en centrales termoeléctricas y nucleares para la disipación de calor residual. Estas torres, caracterizadas por su forma hiperbólica, no solo destacan por su eficiencia térmica, sino también por su diseño estructural optimizado, que combina funcionalidad y resistencia frente a las fuerzas externas como el viento.
Consideremos una torre de enfriamiento hiperbólica, caracterizada por su altura total H, su radio máximo en la base Rmax, y su radio mínimo Rmin alcanzado a [math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}[/math] de la altura H de la torre. La superficie de la torre sigue la forma de un hiperboloide hiperbólico con centro a la altura [math]\dfrac{\scriptsize 2}{\scriptsize 3}H[/math] , el cual, en coordenadas cartesianas, tiene la siguiente forma:

[math]\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math]

Para los siguientes datos, podemos suponer:

[math]Rmax=50m,\qquad Rmin=50m,\qquad H=120m[/math]

Uno de los factores a tener en cuenta, es el viento. Este, ejerce una presión lateral que varía en función de la altura. La velocidad escalar del viento la podemos describir con la siguiente función:

[math]V(z) = V_0 \left( \dfrac{z}{z_0} \right)^\alpha[/math]

Con base en esta velocidad del viento, la presión ejercida por el viento sobre la superficie de la torre puede expresarse de la siguiente manera:

[math]P(z) = \dfrac{1}{2} \rho V(z)^2[/math]

Además, la torre esta expuesta a unas fuerzas laterales, estas vienen descritas por la siguiente función:

[math]\vec{F}(x, y, z) = -P(z) \cdot \vec{n}[/math]

Finalmente, el campo de temperaturas es representado como:

[math]T(r, z) = T_{\text{base}} - \Delta T_z \left( \frac{z}{H} \right)^n - \Delta T_r \left( 1 - e^{-\frac{r^2}{R_{\text{max}}^2 - r^2}} \right)[/math]

1 .-Ecuación de la torre.

Para definir la torre es necesario hallar el valor de a, c y [math]z_{\text{0}}[/math]. Para ello pasamos la ecuación a coordenadas cilíndricas: [math]\dfrac{\rho^2}{a^2} - \dfrac{(z - z_0)^2}{c^2} = 1[/math].

A continuación, hallamos los parámetros a, c y [math]z_{\text{0}}[/math]. Según el enunciado, obtenemos la coordenada del centro: [math]z_{\text{0}}[/math]=80m.
Para hallar el valor de [math]\mathbf{a}[/math] sustituimos en la ecuación. [math]\dfrac{20^2}{a^2} - \dfrac{(80 - 80)^2}{c^2} = 1[/math], obtenemos que [math]\mathbf{a}[/math]=20.
Tras sustituir de nuevo, hallamos el valor de [math]\mathbf{c}[/math]=.

2 .-Representación de la superficie parametrizada.

A continuación, vemos la representación de la superficie parametrizada ayundándonos de los parámetros calculados anteriormente

% Parámetros de la torre  
a = 20; % Radio mínimo 
z0 = 80; % Centro del hiperboloide (a 2/3 de H) 
c = 34.17; % Valor de 'c' 
H = 120; % Altura total 

% Crear la malla para parametrizar la superficie 
u = linspace(0, 2*pi, 100); % Ángulo alrededor del eje z (resolución angular) 
v = linspace(0, H, 200); % Altura (resolución vertical) 
[U, V] = meshgrid(u, v); % Crear mallas 2D para u y v 

% Parametrización del hiperboloide 
X = a * cos(U) .* sqrt(1 + ((V - z0) / c).^2); 
Y = a * sin(U) .* sqrt(1 + ((V - z0) / c).^2); 
Z = V; 

% Representar la superficie 
figure; 
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'k', 'FaceColor', 'white', 'FaceAlpha', 0.9); % Color con malla 
hold on; 
xlabel('X (m)'); 
ylabel('Y (m)'); 
zlabel('Z (m)'); 
title('Superficie de la Torre de Enfriamiento'); 
axis equal; % Mantener proporciones 
grid on; % Mostrar cuadrícula 
view(3); % Vista en 3D

3 .-Representación del campo escalar de presiones.

Suponiendo que la torre está sujeta a un viento paralelo al vector [math]\mathbf{i} + \mathbf{j}[/math].

% Parámetros de la torre 
a = 20; % Radio mínimo 
z0_torre = 80; % Centro del hiperboloide (a 2/3 de H) 
c = 34.17; % Curvatura 
H = 120; % Altura total 
Rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
V0 = 15; % Velocidad del viento a z0 (m/s) 
z0_viento = 10; % Altura de referencia para el viento (m) 
alpha = 0.14; % Exponente del perfil del viento 
% Crear la malla para parametrizar la superficie 
u = linspace(0, 2*pi, 100); % Ángulo alrededor del eje z (resolución angular) 
v = linspace(0, H, 200); % Altura (resolución vertical) 
[U, V] = meshgrid(u, v); % Crear mallas 2D para u y v 
% Parametrización del hiperboloide 
X = a * cos(U) .* sqrt(1 + ((V - z0_torre) / c).^2); 
Y = a * sin(U) .* sqrt(1 + ((V - z0_torre) / c).^2); 
Z = V; 
% Derivadas parciales para calcular la normal 
dXdu = -a * sin(U) .* sqrt(1 + ((V - z0_torre) / c).^2); % Derivada respecto a u 
dYdu = a * cos(U) .* sqrt(1 + ((V - z0_torre) / c).^2); 
dZdu = 0; % Z no depende de u 
dXdv = (a * cos(U) .* ((V - z0_torre) / c.^2)) ./ sqrt(1 + ((V - z0_torre) / c).^2); % Derivada respecto a v 
dYdv = (a * sin(U) .* ((V - z0_torre) / c.^2)) ./ sqrt(1 + ((V - z0_torre) / c).^2); 
dZdv = 1; % Z depende linealmente de v 
% Producto cruzado para obtener la normal 
Nx = dYdu .* dZdv - dZdu .* dYdv; 
Ny = dZdu .* dXdv - dXdu .* dZdv; 
Nz = dXdu .* dYdv - dYdu .* dXdv; 
% Magnitud del vector normal para normalizar 
N_mag = sqrt(Nx.^2 + Ny.^2 + Nz.^2); 
Nx = Nx ./ N_mag;  
Ny = Ny ./ N_mag; 
Nz = Nz ./ N_mag; 
% Perfil del viento 
V_wind = V0 * (V / z0_viento).^alpha; 
% Presión del viento 
P_wind = 0.5 * Rho * V_wind.^2; 
% Fuerza lateral inducida por el viento 
Fx = -P_wind .* Nx; 
Fy = -P_wind .* Ny; 
Fz = -P_wind .* Nz; 
% Representar la torre con el campo de presión 
figure; 
surf(X, Y, Z, P_wind, 'EdgeColor', 'none'); % Campo de presión como mapa de colores 
hold on; 
quiver3(X(1:10:end, 1:10:end), Y(1:10:end, 1:10:end), Z(1:10:end, 1:10:end), ... 
Fx(1:10:end, 1:10:end), Fy(1:10:end, 1:10:end), Fz(1:10:end, 1:10:end), ... 
2, 'k'); % Representar las fuerzas 
xlabel('X (m)'); 
ylabel('Y (m)'); 
zlabel('Z (m)'); 
title('Presión y fuerzas inducidas por el viento sobre la torre'); 
axis equal; % Mantener proporciones 
grid on; 
view(3); % Vista en 3D 
colorbar; % Barra de colores para el campo de presión 
colormap(jet); % Colormap "jet" para el campo de presión