Curvas de Bezier Grupo 17

Las curvas de Bézier llevan el nombre del ingeniero francés Pierre Bézier, quien las publicó en 1962 y, posteriormente, trabajando en Renault, las utilizó ampliamente en el diseño de las distintas partes del automóvil. Hoy en día, estas curvas se han convertido en un estándar en la industria de la gráfica por computadora, el diseño industrial y la ingeniería, permitiendo crear formas fluidas y precisas. Las curvas de Bézier de orden n están definidas por los puntos de control P0,P1,...,Pn y se pueden expresar mediante la siguiente fórmula:

[math] \sum_{i=0}^n B_{i,n}(t) P_i\ [/math]

donde los coeficientes \(B_{i,n}(t)\) son los polinomios de Bernstein, dados por:

[math] B_{i,n}(t) = \binom{n}{i} t^i (1-t)^{n-i}\ [/math]

para \(t \in [0, 1]\), y donde \(\binom{n}{i}\) es el coeficiente binomial.

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Curvas de Bézier. Grupo 17
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2024-25
Autores	Alejandra García-Agulló Canle Álvaro Román Aguilera Fernando Barbancho Lara Jaime García Alegre
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Curva de Beizer cúbica (n=3)

Una curva de Bézier cúbica es un caso especial de las curvas de Bézier que utiliza 4 puntos de control (\(P_0\), \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\)). La fórmula para calcular esta curva es:

[math] B(t) = (1-t)^3 P_0 + 3t(1-t)^2 P_1 + 3t^2(1-t) P_2 + t^3 P_3, \quad t \in [0,1]\ [/math]

A la hora de elegir los puntos coplanarios, hemos elegido los siguientes puntos: [math] P_0 = (0,0),P_0 = (1,2),P_0 = (3,3),P_0 = (4,0). [/math] estos puntos son coplanarios y además tienen características que permiten visualizar una curva de Bézier cúbica con una forma interesante, sin complicaciones en la implementación.

Para verificar que son coplanarios, podemos ver que los puntos se encuentran en el plano \(z = 0\) (es decir, sus coordenadas \(z\) son todas 0). Esto garantiza que están en el mismo plano \(xy\), lo cual satisface la condición de coplanaridad de forma trivial.

P0 = [0, 0];                                                                                % Puntos de control
P1 = [1, 2];
P2 = [2, 2];
P3 = [3, 0];

t = linspace(0, 1, 500);                                                                    % Parámetros % Valores de t entre 0 y 1 

B0 = (1 - t).^3;                                                                            % Polinomios de Bernstein para n = 3                                        
B1 = 3 * (1 - t).^2 .* t;
B2 = 3 * (1 - t) .* t.^2;
B3 = t.^3;

x = B0 * P0(1) + B1 * P1(1) + B2 * P2(1) + B3 * P3(1);                                      % Curva de Bézier
y = B0 * P0(2) + B1 * P1(2) + B2 * P2(2) + B3 * P3(2);

figure;                                                                                     % Representación gráfica
hold on;

plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2);                                                           % Dibujar la curva de Bézier

plot([P0(1), P1(1), P2(1), P3(1)], [P0(2), P1(2), P2(2), P3(2)], 'r--',                     % Dibujar la curva poligonal
'LineWidth', 1.5);
              
plot([P0(1), P1(1), P2(1), P3(1)], [P0(2), P1(2), P2(2), P3(2)], 'ko',                      % Dibujar los puntos de control
'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'k');    

title('Curva de Bézier cúbica');                                                            % Configuración del gráfico                         
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Curva de Bézier', 'Curva poligonal', 'Puntos de control');
grid on;
hold off;