Ecuación de Ondas
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación de Laplace y de Poisson. Grupo ABMR |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2023-24 |
| Autores | Arturo Barrena y Mario Ríos |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Planteamiento del problema
El problema que estás describiendo corresponde a la ecuación de ondas, la cual modela la vibración de una cuerda fija en los extremos. Vamos a plantear el sistema de ecuaciones correspondiente, describiendo cada término.
1.1 Ecuación de ondas
La ecuación de ondas en una dimensión, con una cuerda de densidad \(d\) y tensión \(\tau_0\), donde la velocidad de propagación es \(c = \sqrt{\tau_0/d}\), se escribe como:
[math] \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} [/math]
Dado que en este caso \(c = 1\), la ecuación se simplifica a:
[math] \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} [/math]
1.2 Condiciones de frontera
Dado que la cuerda está fija en los extremos, tenemos:
[math] u(0, t) = 0 [/math]
[math] u(1, t) = 0 [/math]
Estas condiciones indican que la posición de la cuerda en los puntos \(x = 0\) y \(x = 1\) siempre es cero, es decir, la cuerda no se mueve en los extremos.
1.3 Condiciones iniciales
Las condiciones iniciales especifican la posición y la velocidad inicial de la cuerda:
Posición inicial:
[math] u(x, 0) = u_0(x) [/math]
Esto describe la forma inicial de la cuerda en \(t = 0\).
Velocidad inicial:
[math] \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = u_1(x) [/math]
Esto describe la velocidad inicial de cada punto de la cuerda en \(t = 0\).
1.4 Descripción de cada término
- \(u(x,t)\): Desplazamiento de la cuerda en la posición \(x\) y tiempo \(t\).
- \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\): Aceleración de la cuerda en la posición \(x\) y tiempo \(t\).
- \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\): Curvatura de la cuerda en la posición \(x\) y tiempo \(t\).
- \(u_0(x)\): Desplazamiento inicial de la cuerda en la posición \(x\).
- \(u_1(x)\): Velocidad inicial de la cuerda en la posición \(x\).
De esta forma se puede escribir el siguiente sistema que recoge toda la información mencionada anteriormente:
[math] \left\{ \begin{aligned} &u_{tt}(x,t) = u_{xx}(x,t) & 0 \lt x \lt 1, t \gt 0, \\ &u(0, t) = u(1, t)=0, & t \gt 0, \\ &u(x, 0) =u_0(x) \\ &u_t(x, 0) = u_1(x), \end{aligned} \right. [/math]
