Ecuación de Ondas (Grupo 2 1/2)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación de Ondas.
Asignatura	EDP
Curso	2023-24
Autores	Alfredo de Lorenzo, Hugo Sanz, Manuel Fdez.
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Ecuación de ondas I

En esta sección, se va a trabajar con la ecuación de ondas en una dimensión. Para ello, se va a considerar una cuerda vibrante en el intervalo [math] [0,1][/math], con densidad [math] d[/math] y tensión [math] \tau_0 [/math] constante. De modo que la velocidad de propagación es [math] c=1 ~~m/s[/math] . Además, se va a suponer que la cuerda está fijada en los extremos y se denota como [math] u_0(x)[/math] y [math] u_1(x)[/math] su posición e impulso iniciales respectivamente.

1.1 Planteamiento del problema

En primer lugar se plantea el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, es suficiente considerar la ecuación de ondas [math] u_{tt} – c^2u_{xx}=0[/math] y se establecen las condiciones iniciales mencionadas anteriormente. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:

[math]\left \{ \begin{array}{ll} u_{tt} – u_{xx} =0 \\ u(0,t)=u(1,t)=0 \\ u(x,0)=u_0(x) \\ u_t(x,0)=u_1(x) \end{array} \right. [/math]

1.2 Resolución del sistema

La resolución de la ecuación se va realizar mediante el método de separación de variables. Para ello, se considera que la solución es de la forma [math] u(x,t) = T(t) X(x)[/math] .

Realizando el desarrollo correspondiente y aplicando el principio de superposición se obtiene que la solución del sistema es de la siguiente forma:

[math] u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) [/math]

siendo

[math] c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}[/math]

[math] d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}[/math]

Finalmente, si agrupamos todo, la solución de la ecuación de ondas es la siguiente:

[math]u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \left(2 \int_0^1 u_0(x) \sin(n \pi x) \, dx \right) \cos(n \pi t) + \left(\frac{2}{n \pi} \int_0^1 u_1(x) \sin(n \pi x) \, dx \right) \sin(n \pi t) \right) \sin(n \pi x) [/math]

Esta expresión proporciona la solución completa de la ecuación de onda en función de las condiciones iniciales \( u_0(x) \) y \( u_1(x) \).