Ecuación de ondas (GRwM)

1 Introducción

A lo largo de este trabajo vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión, así como la solución fundamental de dicha ecuación en 1, 2 y 3 dimensiones. Además, esto nos será de utilidad para interpretar el principio de Huygens.

Es importante destacar que todos los códigos y gráficas que se verán durante el trabajo han sido realizados con MatLab.

2 Conceptos previos

Antes de introducirnos de lleno en el trabajo, vamos a ver algunos conceptos que son necesarios para la comprensión de este: Velocidad de propagación:

Tensión Densidad

Además, en este trabajo vamos a emplear series de Fourier.

3 Ecuación de ondas I

En esta sección, vamos a representar diferentes soluciones de la ecuación de ondas en una dimensión. Para ello, vamos a considerar una cuerda vibrante en el intervalo [math] [0,1][/math], con densidad [math] d[/math] y tensión [math] \tau_0 [/math] constante. De modo que la velocidad de propagación [math] c=1 m/s[/math] . Además, vamos a suponer que la cuerda está fija en los extremos y vamos a denotar [math] u_0(x)[/math] y [math] u_1(x)[/math] su posición e impulso iniciales respectivamente.

3.1 Planteamiento del problema

Comenzamos plantando el sistema de EDP que modeliza el comportamiento de los desplazamientos transversales de la cuerda. Para ello, basta considerar la ecuación de ondas [math] u_{tt} – c^2u_{xx}=0[/math] y añadir las condiciones iniciales y de frontera descritas en el apartado anterior. De esta manera se obtiene que el sistema EDP a resolver es:

[math]\left \{ \begin{array}{ll} \u_{tt} – u_{xx} =0 \\ u(0,t)=u(1,t)=0 \\ u(x,0)=u_0(x) \\ u_t(x,0)=u_1(x) \end{array} \right. [/math]

3.2 Resolución del sistema

Para resolver el sistema, vamos a aplicar el método de separación. Para ello, vamos a considerar que la solución es de la forma [math] u(x,t) = T(t) X(x)[/math] .

Haciendo las cuentas pertinentes y aplicando el principio de superposición obtenemos que la solución del sistema es:

[math] u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) + d_k sin (k \pi x) sin(k \pi t) [/math]

con [math] c_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_0 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}[/math] y [math] d_k= \frac{\int_0^1 sin (k \pi x) u_1 (x) dx}{\int_0 ^1 sin^2(k \pi x) dx}[/math]

3.3 Particularización del problema

Ahora vamos a considerar como datos iniciales [math] u_0(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2\lt\math\gt y \ltmath\gt u_1(x)= 0\lt\math\gt y vamos a representar la solución en el intervalo de tiempo \ltmath\gt [0,2][/math]. Teniendo en cuenta la solución general obtenida en el caso anterior, se tiene que la solución de este problema es:

[math] u(x,t)= \sum _{k=1}^{\infty} c_k sin(k \pi x) cos (k \pi t) [/math]

ya que en la expresión de [math] d_k[/math] aparece la función [math] u_1(x)[/math], cuyo valor es cero por hipótesis. Para obtener el valor de [math] c_k [/math] vamos a emplear el método del trapecio, que al ser un método numérico, lleva asociado un error. En este trabajo no estudiaremos este error, PONER TRABAJO ANTERIOR EN EL QUE SE ESTUDIABA EL ERROR DEL TRAPECIO.

Teniendo esto en cuenta, hemos representado la solución en el intervalo de tiempo mencionado:

[[Archivo:Ejercicio1apartado3.jpg|600px|thumb|center| Gráfica de la solución para [math] x \in [0,1] \lt\math\gt, \ltmath\gt t \in [0,2] \lt\math\gt y considerando como datos iniciales \ltmath\gt u_0(x) = e^{ −100(x−\frac{1}{2})^2} \lt\math\gt y \ltmath\gt u_1(x) = 0\lt\math\gt.] Como podemos observar que para \ltmath\gtx=0 \lt\math\gt y \ltmath\gtx=1\lt\math\gt se tiene que \ltmath\gtu(x,t)=0\lt\math\gt, pues por hipótesis la cuerda está fija en los extremos. Además, la solución es periódica en tiempo. Para poder apreciar esto, vamos se presenta el siguiente vídeo. ==Otra particularización del problema== Ahora vamos a considerar que la onda viaja en un solo sentido, es decir, \ltmath\gt u(x,t)=f(x-t)\lt\math\gt. Para hacerlo, vamos a tomar como datos iniciales \ltmath\gt u_0(x)= f(x)\lt\math\gt y \ltmath\gt u_1(x)= - f’(x)\lt\math\gt, con \ltmath\gt f(x)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2\lt\math\gt. En este caso el sistema a resolver es: \ltcenter\gt\ltmath\gt\left \{ \begin{array}{ll} u_{tt} – u_{xx} =0 \\ u(0,t)=u(1,t)=0 \\ u(x,0)= e^{-100 (x- \frac{1}{2})^2 \\ u_t(x,0)= PONER \end{array} \right. [/math]</center>

Resolviendo al igual que en los casos anteriores, obtenemos una solución cuya representación es la siguiente:

Como podemos observar, el perfil de la solución avanza con una velocidad de propagación [math]c= 1 m\s[/math].

Además vemos que en la frontera… En este caso, cuando la onda llega al extremo, como este se mantiene fijo, la onda rebota simétricamente , sufriendo un cambio en el signo de la tensión.

3.4 Cambio a condición frontera de tipo Neumann

Por último, vamos a estudiar cómo varía la solución al considerar condiciones de frontera de tipo Neumann en lugar de tipo Dirichlet. Para ello, en este caso vamos a tomar [math]u_x(0,t) = u_x(1,t) =0[/math]

En este caso, como los extremos no están fijos, cuando lla onda llega a uno de los extremos, este varía, pues debe mantenerse que ux=0.

4 Ecuación de ondas II

En esta sección, vamos a estudiar la solución fundamental de la a ecuación de ondas en dimensiones 1, 2 y 3. Hay que tener en cuenta que la solución fundamental es la solución que se obtiene al dar un impulso inicial muy localizado en [math] x=0 [/math].

Para ello, consideramos el siguiente sistema:

[math]\left \{ \begin{array}{ll} u_{tt}-c^2\Delta u=0, \quad x \in \mathbb{R}^n, t\gt0, \\ u(x,0)=0, u_t(x,0)=\delta (x), \quad x \in \mathbb{R}^n, \end{array} \right. [/math]

donde [math] \delta(x) [/math] es la delta de Dirac, que formalmente se define como el siguiente límite:

[math] \delta (x) = \lim \limits_{r \rightarrow 0} \frac{1}{|B(0,r)|} \Xi_{B(0,r)}(x) \sim \left \{ \begin{array}{ll} \infty \quad x=0, \\ 0 \quad x\neq 0, \end{array} \right. [/math]

donde [math]\Xi_{B(0,r)}(x) [/math] es la función característica de la bola centrada en 0 de radio [math] r [/math] y [math]|B(0,r)|[/math] es el volumen de la bola. La expresión de esta es: 1. En dimensión n=1:

[math]\ltcenter\gt K_1(x,t) = \frac{1}{2c}[H(x+ct)-H(x-ct)], [/math]</center>

Donde [math]H(s)[/math] es la función de Heaviside,

[math] H(s) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, \quad x\lt0 \\ 1, \quad x \geq 0 \end{array} \right. [/math]

2. En dimensión [math]n=2[/math]:

[math]\ltcenter\gt K_2(x,t)=\frac{1}{2\pi c \sqrt{c^2t^2-|x|^2}} \Xi_{B(0,ct)}(x), [/math]</center>

donde [math] \Xi_{B(0,ct)}(x) [/math] es la función característica de la bola de centro 0 y radio [math] ct [/math]. 3. En dimensión [math]n=3[/math]: [math]\ltcenter\gt K_3(x,t)=\frac{\delta (|x|-ct)}{4\pic|x|}, t\gt0. [/math]</center>

5 Referencias

• Velocidad de propagación de una onda
• Series de Fourier